Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável. Calcule g_{u}=\frac{\partial g}{\partial u}, g_{v}=\frac{\partial g}{\partial v}, em função de f_{x}, f_{y} nos casos abaixo
g(u, v)=\operatorname{sen} u-f\left(2 u-3 v^{2}, u-\cos v\right).

Passo 1

O enunciado define
g(u,v)=\sin u \;-\; f\bigl(2u-3v^2,\;u-\cos v\bigr),
onde f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável. Precisamos aplicar a regra da cadeia para obter \frac{\partial g}{\partial u} e \frac{\partial g}{\partial v} em função de f_x e f_y.

Passo 2

Definimos as variáveis internas
x=2u-3v^2 \quad\text{e}\quad y=u-\cos v.
Calculamos as derivadas parciais dessas variáveis:
\frac{\partial x}{\partial u}=2, \quad \frac{\partial y}{\partial u}=1.

Passo 3

Usando a regra da cadeia para \displaystyle g_u=\frac{\partial g}{\partial u}, temos
g_u =\frac{d}{du}\bigl(\sin u\bigr) \;-\;\bigl(f_x\,x_u + f_y\,y_u\bigr) =\cos u \;-\;\bigl(f_x\cdot2 + f_y\cdot1\bigr).
Ou seja,
g_u=\cos u -2\,f_x - f_y,
onde f_x e f_y são avaliados em \bigl(x,y\bigr)=(2u-3v^2,\;u-\cos v).

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a v:
\frac{\partial x}{\partial v}=-6v, \quad \frac{\partial y}{\partial v}=\sin v.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para \displaystyle g_v=\frac{\partial g}{\partial v}, obtém-se
g_v =\frac{d}{dv}\bigl(\sin u\bigr) \;-\;\bigl(f_x\,x_v + f_y\,y_v\bigr) =0 \;-\;\bigl(f_x\cdot(-6v)+f_y\cdot\sin v\bigr),
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g_v = 6v\,f_x \;-\;f_y,
onde novamente f_x,f_y são avaliados em \bigl(2u-3v^2,\;u-\cos v\bigr).

Resposta

g_u=\cos u -2\,f_x(2u-3v^2,u-\cos v) - f_y(2u-3v^2,u-\cos v) g_v=6v\,f_x(2u-3v^2,u-\cos v) \;-\;f_y(2u-3v^2,u-\cos v)

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