Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
y(x, y)=\operatorname{sen}\left(2+x^{2}+y^{4}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y(x,y)=\operatorname{sen}\bigl(2 + x^{2}+y^{4}\bigr)
e pede as derivadas parciais \frac{\partial y}{\partial x} e \frac{\partial y}{\partial y}. Vamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a uma variável t é \cos(u)\cdot \frac{du}{dt}.

Passo 2

Para achar \displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}, identificamos u(x,y)=2 + x^{2}+y^{4}. Então
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2 + x^{2}+y^{4}\bigr) = 2x.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial y}{\partial x} = \cos\bigl(2 + x^{2}+y^{4}\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial x} = \cos\bigl(2 + x^{2}+y^{4}\bigr)\cdot 2x.

Passo 3

Para achar \displaystyle \frac{\partial y}{\partial y}, calculamos
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2 + x^{2}+y^{4}\bigr) = 4y^{3}.
Novamente pela regra da cadeia:
\frac{\partial y}{\partial y} = \cos\bigl(2 + x^{2}+y^{4}\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial y} = \cos\bigl(2 + x^{2}+y^{4}\bigr)\cdot 4y^{3}.

Resposta

\frac{\partial y}{\partial x} = 2x \,\cos\bigl(2 + x^{2}+y^{4}\bigr), \quad \frac{\partial y}{\partial y} = 4y^{3}\,\cos\bigl(2 + x^{2}+y^{4}\bigr).

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