Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade das funções a seguir e justifique sua resposta.
f(x, y)=\left\{\begin{array}{r}\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\\ 1, \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.,\

Passo 1

O enunciado define a função f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) por \[f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[1em] 1,&\text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O conteúdo aqui é continuidade em \mathbb{R}^2\]. Para achar os pontos de descontinuidade, vamos checar dois casos: \((x,y)\neq(0,0) e (x,y)=(0,0).]

Passo 2

Se (x_0,y_0)\neq(0,0), então x_0^2+y_0^2\neq0. A função
(x,y)\mapsto \operatorname{sen}\bigl(x^2+y^2\bigr)
é contínua em todo \mathbb{R}^2 e a função
(x,y)\mapsto x^2+y^2
é contínua e não se anula em (x_0,y_0). Logo, o quociente
\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^2+y^2\bigr)}{x^2+y^2}
é continuidade-composta, sendo contínuo em qualquer ponto com x^2+y^2\neq0. Portanto, não há descontinuidade fora da origem.

Passo 3

Agora analisamos (x,y)\to(0,0). Seja r^2=x^2+y^2. Para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y)=\frac{\operatorname{sen}(r^2)}{r^2}.
Sabemos do cálculo unidimensional que
\lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Tomando t=r^2\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{r^2\to0}\frac{\operatorname{sen}(r^2)}{r^2} =1.
Como f(0,0)=1, o limite coincide com o valor da função na origem. Logo, f é contínua em (0,0).

Resposta

O conjunto de pontos de descontinuidade de f é vazio. Portanto, \text{conjunto de descontinuidades}=\varnothing.

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