Represente graficamente o domínio da função z=f(x, y) dada por:
(g) 4 x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, z \geq 0

Passo 1

O enunciado define uma “superfície” em (x,y,z) por
4x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\quad z\ge 0
e pede o domínio da função z=f(x,y) em que z é obtido a partir dessa equação. Vamos usar geometria analítica para projetar essa metade de elipsoide no plano xy.

Passo 2

Da equação
4x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
e da condição z\ge0, isolamos z como
z = \sqrt{\,1 - 4x^{2} - y^{2}\,}\,.

Passo 3

Para que z seja real precisamos que o radicando seja não negativo, isto é
1 - 4x^{2} - y^{2} \;\ge\; 0
ou equivalentemente
4x^{2} + y^{2} \;\le\; 1.

Passo 4

A desigualdade
4x^{2} + y^{2} \le 1
é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em x de comprimento \tfrac12 (pois 4x^{2}=(x/(1/2))^{2}) e semi-eixo em y de comprimento 1. O domínio é, portanto, a região interior e a fronteira dessa elipse no plano xy.

Resposta

O domínio de f é
D = \bigl\{(x,y)\mid 4x^{2}+y^{2}\le 1\bigr\},
isto é, a elipse de semi-eixos 1/2 em x e 1 em y, incluindo a sua fronteira.

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