Represente geometricamente os campos vetoriais:
\vec{F}(x, y)=-x \vec{i}+2 y \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente, no plano (x,y), o campo vetorial
\vec{F}(x,y) = -x\,\vec{i} + 2y\,\vec{j}.
O conteúdo envolve interpretação de componentes de um campo vetorial e esboço de setas em pontos do plano.

Passo 2

Analisamos as componentes:
  • Componente em x: \,F_x(x,y) = -x.
    Se x>0, F_x<0 (seta aponta para a esquerda); se x<0, F_x>0 (seta aponta para a direita).
  • Componente em y: \,F_y(x,y) = 2y.
    Se y>0, F_y>0 (seta aponta para cima, com tamanho proporcional a |2y|); se y<0, F_y<0 (seta aponta para baixo).

Passo 3

Escolhemos alguns pontos característicos e calculamos o vetor para esboçar:
  • Em (1,0):
    \vec{F}(1,0)=(-1,0) — seta de comprimento 1 apontando para a esquerda.
  • Em (-1,0):
    \vec{F}(-1,0)=(1,0) — seta de comprimento 1 apontando para a direita.
  • Em (0,1):
    \vec{F}(0,1)=(0,2) — seta de comprimento 2 apontando para cima.
  • Em (0,-1):
    \vec{F}(0,-1)=(0,-2) — seta de comprimento 2 apontando para baixo.
  • Em (1,1):
    \vec{F}(1,1)=(-1,2) — seta inclinada para cima e à esquerda.
  • Em (-1,1):
    \vec{F}(-1,1)=(1,2) — seta inclinada para cima e à direita.
  • Em (1,-1):
    \vec{F}(1,-1)=(-1,-2) — seta inclinada para baixo e à esquerda.
  • Em (-1,-1):
    \vec{F}(-1,-1)=(1,-2) — seta inclinada para baixo e à direita.

Passo 4

Com base nesses vetores, o esboço geral apresenta:
  • Ao longo do eixo x y=0, setas horizontais apontando para o eixo y (contratação em x).
  • Ao longo do eixo y x=0, setas verticais apontando para fora da origem (expansão em y).
  • Nos quadrantes, as setas combinam esses efeitos, criando um padrão de “sela”: os fluxos vêm para a origem na direção horizontal e saem da origem na direção vertical.

Resposta

O esboço do campo \vec{F}(x,y)=-x\,\vec{i}+2y\,\vec{j} mostra setas que:
  • Apontam para a esquerda quando x>0 e para a direita quando x<0.
  • Apontam para cima quando y>0 e para baixo quando y<0.
  • Têm comprimento proporcional a |x| na direção horizontal e a |2y| na vertical, produzindo um comportamento de sela no plano.

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