Seja f(x, y)=5+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}
(a) Dê o domínio de f,
(b) Descreva o conjunto imagem de f,
(c) Esboce o domínio de f.

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,y)=5+\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}
e pede:
– (a) o domínio de f,
– (b) o conjunto imagem de f,
– (c) um esboço do domínio.
Para resolver vamos usar a condição de existência da raiz quadrada e estudar como varia \sqrt{1 - x^{2}-y^{2}}.

Passo 2

Para (a), a raiz existe se e somente se o radicando for não-negativo:
1 - x^{2} - y^{2} \ge 0
Isso equivale a
x^{2} + y^{2} \le 1.
Logo o domínio é o disco fechado de raio 1 centrado na origem:
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le1\}.

Passo 3

Para (b), note que em D temos
0 \le \sqrt{1 - x^{2}-y^{2}} \le \sqrt{1}=1.
Adicionando 5 obtemos
5 \le f(x,y) = 5 + \sqrt{1 - x^{2}-y^{2}} \le 6.
Portanto o conjunto imagem é o intervalo fechado
[5,\,6].

Passo 4

Para (c), o domínio é o disco de raio 1 no plano (x,y). Num esboço, desenhe um círculo de centro na origem e raio 1, e considere toda a região interna a ele (incluindo a fronteira).

Resposta

(a) \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le1\}
(b) [5,\,6]
(c) Disco fechado de raio 1 centrado na origem no plano (x,y).

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