Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade das funções a seguir e justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto dos pontos de descontinuidade da função
dada por
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita da função
em termos de
e
. Não há figura nem outras restrições no enunciado.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar o domínio natural de
. Lembre que a função logaritmo natural
só está definida para argumentos positivos, isto é, para
. Aplicando isso ao nosso caso, o argumento é
, portanto o domínio
de
é
ou, de forma mais simples,
Observação útil: geometricamente
é o semiplano aberto estritamente acima da reta
. A reta
é a fronteira de
.
Passo 3
Agora eu te ensino por que
é contínua em todo ponto do domínio
. Vamos usar duas ideias simples e importantes:
-
A função
é contínua em todo . Isto porque é uma função linear (soma e diferença de coordenadas), e polinômios/funcões lineares são contínuos. -
A função
é contínua em todo o intervalo — você pode lembrar que tem derivada ali, mas o que importa é: não tem quebras nem saltos quando o argumento é estritamente positivo.
A composição de funções contínuas é contínua. Logo, a composição
é contínua em todo ponto onde
. Conclusão:
é contínua em todo o semiplano
.
Passo 4
Precisamos agora identificar os pontos onde
não é contínua. Existem dois tipos de pontos fora de
: (a) pontos da reta
e (b) pontos do semiplano
. Vou analisar cada caso.
(a) Pontos da reta
. Seja um ponto fixo
com
. Considere pontos do domínio que se aproximam de
: por exemplo, pegue a sequência de pontos
então
e
quando
. Para esses pontos
Isso mostra que, ao aproximarmos um ponto da reta
por dentro do domínio
, os valores de
vão para
; não existe limite finito. Portanto não é possível ter continuidade em qualquer ponto da reta
. Em outras palavras, cada ponto com
é ponto de descontinuidade (nem sequer admite extensão contínua finita).
(b) Pontos com
. Nesses pontos a função
não está nem definida porque o argumento
é negativo. Segundo a definição usual de continuidade, a continuidade de
só se discute em pontos do domínio de
. Assim, pontos fora do domínio (aqui os pontos com
) não são pontos de continuidade de
. Em termos práticos, quando o enunciado nos pede “conjunto dos pontos de descontinuidade”, costuma-se incluir todos os pontos onde
não é contínua — isto é, toda a parte fora de
.
Passo 5
Recapitulando e justificando de forma direta:
é contínua exatamente no conjunto
. Em qualquer ponto da reta
aproximando-se pelo domínio os valores de
divergem para
, então esses pontos são descontinuidades. Em qualquer ponto com
a função não está definida, logo também não é contínua aí. Portanto o conjunto de descontinuidade é o complemento do domínio, isto é, o conjunto
.