Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade das funções a seguir e justifique sua resposta.
f(x, y)=\ln(x-y)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto dos pontos de descontinuidade da função f dada por
f(x,y)=\ln(x-y).
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita da função f em termos de x e y. Não há figura nem outras restrições no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar o domínio natural de f. Lembre que a função logaritmo natural \ln(t) só está definida para argumentos positivos, isto é, para t>0. Aplicando isso ao nosso caso, o argumento é x-y, portanto o domínio D de f é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y>0\},
ou, de forma mais simples,
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>y\}.
Observação útil: geometricamente D é o semiplano aberto estritamente acima da reta \{(x,y)\colon x=y\}. A reta \{x=y\} é a fronteira de D.

Passo 3

Agora eu te ensino por que f é contínua em todo ponto do domínio D. Vamos usar duas ideias simples e importantes:
  1. A função (x,y)\mapsto x-y é contínua em todo \mathbb{R}^2. Isto porque é uma função linear (soma e diferença de coordenadas), e polinômios/funcões lineares são contínuos.
  2. A função \ln(t) é contínua em todo o intervalo (0,\infty) — você pode lembrar que tem derivada \frac{1}{t} ali, mas o que importa é: \ln não tem quebras nem saltos quando o argumento é estritamente positivo.
A composição de funções contínuas é contínua. Logo, a composição (x,y)\mapsto \ln(x-y) é contínua em todo ponto onde x-y>0. Conclusão: f é contínua em todo o semiplano D=\{x>y\}.

Passo 4

Precisamos agora identificar os pontos onde f não é contínua. Existem dois tipos de pontos fora de D: (a) pontos da reta \{x=y\} e (b) pontos do semiplano \{x<y\}. Vou analisar cada caso.
(a) Pontos da reta \{x=y\}. Seja um ponto fixo (a,a) com a\in\mathbb{R}. Considere pontos do domínio que se aproximam de (a,a): por exemplo, pegue a sequência de pontos
(x_n,y_n)=(a+\tfrac{1}{n},\,a),
então x_n-y_n=\tfrac{1}{n}>0 e (x_n,y_n)\to(a,a) quando n\to\infty. Para esses pontos
f(x_n,y_n)=\ln\!\big(x_n-y_n\big)=\ln\!\big(\tfrac{1}{n}\big)=-\ln n\to -\infty.
Isso mostra que, ao aproximarmos um ponto da reta \{x=y\} por dentro do domínio D, os valores de f vão para -\infty; não existe limite finito. Portanto não é possível ter continuidade em qualquer ponto da reta \{x=y\}. Em outras palavras, cada ponto com x=y é ponto de descontinuidade (nem sequer admite extensão contínua finita).
(b) Pontos com x<y. Nesses pontos a função \ln(x-y) não está nem definida porque o argumento x-y é negativo. Segundo a definição usual de continuidade, a continuidade de f só se discute em pontos do domínio de f. Assim, pontos fora do domínio (aqui os pontos com x<y) não são pontos de continuidade de f. Em termos práticos, quando o enunciado nos pede “conjunto dos pontos de descontinuidade”, costuma-se incluir todos os pontos onde f não é contínua — isto é, toda a parte fora de D.

Passo 5

Recapitulando e justificando de forma direta: f é contínua exatamente no conjunto \{(x,y):x>y\}. Em qualquer ponto da reta \{x=y\} aproximando-se pelo domínio os valores de f divergem para -\infty, então esses pontos são descontinuidades. Em qualquer ponto com x<y a função não está definida, logo também não é contínua aí. Portanto o conjunto de descontinuidade é o complemento do domínio, isto é, o conjunto \{(x,y):x\le y\}.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\le y\}

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