Calcule, caso exista:
Passo 1
O enunciado pede calcular, se existir, o limite
Informações dadas:
O ponto de interesse é
, onde a função não está definida. A pergunta é: existe um número real
tal que, quando
se aproxima de
por qualquer caminho,
? Se não existir tal
, devemos concluir que o limite não existe.
Passo 2
Breve explicação didática sobre limites em duas variáveis (para usar na prova):
- Dizemos que
se, para toda sequência de pontos (ou para qualquer caminho que leve ao ponto), os valores tendem ao mesmo número . - Uma técnica prática para mostrar que o limite não existe é verificar limites ao longo de caminhos diferentes. Se dois caminhos que chegam a
dão limites diferentes (ou um dá infinito e outro dá número finito), então o limite geral não existe. - Vou aplicar essa ideia: calcular
em caminhos simples como e e comparar os resultados.
Passo 3
Analisando o caminho
(ou seja, aproximar
verticalmente pela reta
):
Substituindo na função, obtemos
Substituindo
Agora vemos o comportamento quando
:
Conclusão parcial: ao longo do caminho
os valores de
ficam arbitrariamente grandes em módulo quando
; portanto
é não-limitada perto de
. Já isto basta para afirmar que não existe um limite finito comum para todos os caminhos. Mas é útil comparar com outro caminho que dá um valor totalmente diferente.
Passo 4
Analisando o caminho
(curva que também passa por
):
Substituindo ,
Substituindo
Logo, ao longo de
temos
Comparação: pelo passo anterior, ao longo de
os valores divergem para
; aqui, ao longo de
o limite é
. Dois caminhos dando comportamentos incompatíveis (infinito versus um número finito) mostram que não existe um limite único quando
.
Passo 5
Comentário extra curto (útil para a prova): basta um caminho que produza divergência (por exemplo
) e outro que produza um valor finito diferente (por exemplo
) para concluir que o limite não existe. Não precisamos procurar mais caminhos.
Resposta
O limite não existe.