Calcule, caso exista:
\lim_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y-x^{3}}{x^{4}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede calcular, se existir, o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y-x^{3}}{x^{4}+y^{4}}.
Informações dadas:
\text{a função }f(x,y)=\frac{y-x^{3}}{x^{4}+y^{4}}\text{ está definida em pontos onde }x^{4}+y^{4}\neq0.çãá
O ponto de interesse é (0,0), onde a função não está definida. A pergunta é: existe um número real L tal que, quando (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho, f(x,y)\to L? Se não existir tal L, devemos concluir que o limite não existe.

Passo 2

Breve explicação didática sobre limites em duas variáveis (para usar na prova):
  • Dizemos que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L se, para toda sequência de pontos (x_n,y_n)\to(0,0) (ou para qualquer caminho que leve ao ponto), os valores f(x_n,y_n) tendem ao mesmo número L.
  • Uma técnica prática para mostrar que o limite não existe é verificar limites ao longo de caminhos diferentes. Se dois caminhos que chegam a (0,0) dão limites diferentes (ou um dá infinito e outro dá número finito), então o limite geral não existe.
  • Vou aplicar essa ideia: calcular f em caminhos simples como x=0 e y=x^{3} e comparar os resultados.

Passo 3

Analisando o caminho x=0 (ou seja, aproximar (0,0) verticalmente pela reta x=0):
Substituindo x=0 na função, obtemos
f(0,y)=\frac{y-0^{3}}{0^{4}+y^{4}}=\frac{y}{y^{4}}=\frac{1}{y^{3}}\quad\text{para }y\neq0.
Agora vemos o comportamento quando y\to0:
\text{se }y\to0^{+}\text{ então }\frac{1}{y^{3}}\to+\infty, \qquad \text{se }y\to0^{-}\text{ então }\frac{1}{y^{3}}\to-\infty.ãã
Conclusão parcial: ao longo do caminho x=0 os valores de f ficam arbitrariamente grandes em módulo quando (0,y)\to(0,0); portanto f é não-limitada perto de (0,0). Já isto basta para afirmar que não existe um limite finito comum para todos os caminhos. Mas é útil comparar com outro caminho que dá um valor totalmente diferente.

Passo 4

Analisando o caminho y=x^{3} (curva que também passa por (0,0)):
Substituindo y=x^{3},
f(x,x^{3})=\frac{x^{3}-x^{3}}{x^{4}+(x^{3})^{4}}=\frac{0}{x^{4}+x^{12}}=0\quad\text{para }x\neq0.
Logo, ao longo de y=x^{3} temos
\lim_{x\to0} f(x,x^{3})=0.
Comparação: pelo passo anterior, ao longo de x=0 os valores divergem para \pm\infty; aqui, ao longo de y=x^{3} o limite é 0. Dois caminhos dando comportamentos incompatíveis (infinito versus um número finito) mostram que não existe um limite único quando (x,y)\to(0,0).

Passo 5

Comentário extra curto (útil para a prova): basta um caminho que produza divergência (por exemplo x=0) e outro que produza um valor finito diferente (por exemplo y=x^{3}) para concluir que o limite não existe. Não precisamos procurar mais caminhos.

Resposta

O limite não existe.

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