Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade. Justifique a resposta.
.
Passo 1
O enunciado define a função
Queremos achar onde ela é descontínua. Vamos usar que quocientes de polinômios são contínuos quando o denominador não zera, e depois testar o ponto (0,0).
Passo 2
Para qualquer ponto
temos
. Como
e
são polinômios, o quociente
é contínuo onde o denominador não anula. Logo,
é contínua em todos os pontos fora da origem.
Passo 3
Agora analisamos
. Para ver se
é contínua ali, calculamos o limite quando
ao longo de retas do tipo
. Substituindo:
Esse valor depende de
e, em geral, diverge para infinito ou não existe quando
, exceto no caso especial
, mas já basta uma direção para quebrar a unicidade do limite.
Passo 4
Como o limite de
quando
não existe (ou é infinito) e
, concluímos que
é descontínua em
e contínua em todo o resto.
Passo 5
Portanto, o único ponto de descontinuidade de
é a origem.
Resposta
{(0,0)}