Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade. Justifique a resposta.
ccx-3 yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=x-3yx^2+y^2&se (x,y)neq(0,0)0&se (x,y)=(0,0)
Queremos achar onde ela é descontínua. Vamos usar que quocientes de polinômios são contínuos quando o denominador não zera, e depois testar o ponto (0,0).

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^2neq0. Como x-3y e x^2+y^2 são polinômios, o quociente
x-3yx^2+y^2
é contínuo onde o denominador não anula. Logo, f é contínua em todos os pontos fora da origem.

Passo 3

Agora analisamos (0,0). Para ver se f é contínua ali, calculamos o limite quando (x,y)to(0,0) ao longo de retas do tipo y=mx. Substituindo:
f(x,mx)=x-3(mx)x^2+(mx)^2=x(1-3m)x^2(1+m^2)=1-3m1+m^2cdot1x
Esse valor depende de m e, em geral, diverge para infinito ou não existe quando xto0, exceto no caso especial m=1/3, mas já basta uma direção para quebrar a unicidade do limite.

Passo 4

Como o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) não existe (ou é infinito) e f(0,0)=0, concluímos que f é descontínua em (0,0) e contínua em todo o resto.

Passo 5

Portanto, o único ponto de descontinuidade de f é a origem.

Resposta

{(0,0)}

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