Determine a curvatura k(t) em cada um dos casos
.

Passo 1

O exercício dá a curva
Temos a curva r(t)=(t^2,2t,ln t), e pede a curvatura k(t) dessa curva no espaço. O conteúdo da matéria é a curvatura de uma curva parametrizada por t, cujo cálculo exige as derivadas r'(t), r''(t) e o produto vetorial entre elas, usando a fórmula
A curvatura é dada por
k(t)=lVert r'(t)times r''(t)rVertlVert r'(t)rVert^3

Passo 2

Vamos calcular a primeira e a segunda derivada de cada componente de r(t). Derivando em relação a t obtemos:
r'(t)=(2t,;2,;1/t),
e
r''(t)=(2,;0,;-1/t^2)

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial r'(t)times r''(t). Usando o determinante:
r'(t)times r''(t)=i & j & k 2t & 2 & 1/t 2 & 0 & -1/t^2 =l(-2t^2,;4t,;-4r)

Passo 4

Em seguida calculamos a norma de r'(t)times r''(t):
lVert r'(t)times r''(t)rVert=raizl(-2t^2r)^2+l(4tr)^2+(-4)^2 =raiz4t^4+16t^2+16 =2(2t^2+1)t^2

Passo 5

Também precisamos da norma de r'(t):
lVert r'(t)rVert=raiz(2t)^2+2^2+(1/t)^2=raiz4t^2+4+1t^2=2t^2+1t

Passo 6

Por fim, aplicamos a fórmula da curvatura:
k(t)=lVert r'(t)times r''(t)rVertlVert r'(t)rVert^3 =2(2t^2+1)t^2l(2t^2+1tr)^3 =2t(2t^2+1)^2

Resposta

k(t)=2t(2t^2+1)^2

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