Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos do
.
.
Passo 1
Vamos analisar o problema: queremos verificar se o conjunto
é aberto no espaço
. Para isso, vamos usar conceitos de topologia, especificamente a definição de conjuntos abertos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o conjunto dado:
. Isso significa que estamos considerando todos os pares
onde o produto de
e
é positivo. Ou seja, tanto
quanto
são positivos ou ambos são negativos.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em topologia, um conjunto
em
é aberto se, para todo ponto
, existe uma bola aberta ao redor desse ponto que está completamente contida em
. Em outras palavras, podemos “mover” um pouquinho em qualquer direção a partir de
sem sair de
.
Passo 4
Vamos ver se isso vale para nosso conjunto. Se pegarmos qualquer ponto
onde
, podemos encontrar uma pequena região ao redor desse ponto onde o produto continua sendo positivo. Por exemplo, se
e
, escolhendo uma pequena bola centrada em
, todos os pontos dentro dessa bola também terão
e
, mantendo
. O mesmo vale se ambos
e
forem negativos.
Passo 5
Como para qualquer ponto no conjunto conseguimos uma bola aberta que está totalmente dentro do conjunto, isso confirma que o conjunto
é realmente aberto.
Resposta
O conjunto
é aberto.