Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos do R^2.
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Passo 1

Vamos analisar o problema: queremos verificar se o conjunto (x, y) in R^2 mid x y>0 é aberto no espaço R^2. Para isso, vamos usar conceitos de topologia, especificamente a definição de conjuntos abertos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o conjunto dado: (x, y) in R^2 mid x y>0. Isso significa que estamos considerando todos os pares (x, y) onde o produto de x e y é positivo. Ou seja, tanto x quanto y são positivos ou ambos são negativos.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em topologia, um conjunto A em R^2 é aberto se, para todo ponto (x, y) in A, existe uma bola aberta ao redor desse ponto que está completamente contida em A. Em outras palavras, podemos “mover” um pouquinho em qualquer direção a partir de (x, y) sem sair de A.

Passo 4

Vamos ver se isso vale para nosso conjunto. Se pegarmos qualquer ponto (x, y) onde x y > 0, podemos encontrar uma pequena região ao redor desse ponto onde o produto continua sendo positivo. Por exemplo, se x > 0 e y > 0, escolhendo uma pequena bola centrada em (x, y), todos os pontos dentro dessa bola também terão x > 0 e y > 0, mantendo x y > 0. O mesmo vale se ambos x e y forem negativos.

Passo 5

Como para qualquer ponto no conjunto conseguimos uma bola aberta que está totalmente dentro do conjunto, isso confirma que o conjunto (x, y) in R^2 mid x y>0 é realmente aberto.

Resposta

O conjunto (x, y) in R^2 mid x y>0 é aberto.

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