Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade. Justifique a resposta.
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado define a função
e pede o conjunto de pontos onde
f não é contínua. Vamos usar o conceito de continuidade em várias variáveis: num ponto
(x0,y0) ,
f é contínua se
Precisamos então (
1 ) verificar a continuidade em
(x,y)neq(0,0) e (
2 ) estudar o caso
(0,0) .]
Passo 2
Se
(x0,y0)neq(0,0) , então
x0^2+y0^2neq0 . Nesse caso
é quociente de polinômios com denominador não nulo em torno de
(x0,y0) . Logo é contínua em todo ponto com
(x,y)neq(0,0) .
Passo 3
Resta verificar a continuidade no ponto
(0,0) . Para isso, examinamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) e comparamos com
f(0,0)=0 .
Passo 4
Tomemos a abordagem pelo eixo
y=0 . Se
y=0 e
xneq0 , então
Ao levar
xto0 ,
1x não converge (vai para
pminfty ). Portanto
e em particular não é igual a
0 .
Passo 5
Como a função não tem limite único quando
(x,y)to(0,0) , ela não é contínua em
(0,0) .
Resposta
O único ponto de descontinuidade de
f é
(0,0) .