Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade. Justifique a resposta.
(c) f(x, y)=clx-3 yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx-3yx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede o conjunto de pontos onde f não é contínua. Vamos usar o conceito de continuidade em várias variáveis: num ponto (x0,y0), f é contínua se
lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)
Precisamos então ( 1) verificar a continuidade em (x,y)neq(0,0) e ( 2) estudar o caso (0,0).]

Passo 2

Se (x0,y0)neq(0,0), então x0^2+y0^2neq0. Nesse caso
f(x,y)=x-3yx^2+y^2
é quociente de polinômios com denominador não nulo em torno de (x0,y0). Logo é contínua em todo ponto com (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Resta verificar a continuidade no ponto (0,0). Para isso, examinamos lim(x,y)to(0,0)f(x,y) e comparamos com f(0,0)=0.

Passo 4

Tomemos a abordagem pelo eixo y=0. Se y=0 e xneq0, então
f(x,0)=x-3cdot0x^2+0^2=xx^2=1x
Ao levar xto0, 1x não converge (vai para pminfty). Portanto
lim(x,0)to(0,0)f(x,0);não existe, ã
e em particular não é igual a 0.

Passo 5

Como a função não tem limite único quando (x,y)to(0,0), ela não é contínua em (0,0).

Resposta

O único ponto de descontinuidade de f é (0,0).

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