1. Se f: R R é uma função derivável, mostre que os planos tangentes à superfície de equação z=y f(x / y) passam todos pela origem.

Passo 1

O enunciado define a superfície
z = y,f!l(tfracxyr),
onde f:RtoR é derivável. Para mostrar que todo plano tangente a essa superfície passa pela origem, vamos usar a fórmula do plano tangente a um gráfico de função de duas variáveis. Definimos
F(x,y)=y,f!l(tfracxyr),
de modo que z=F(x,y). No ponto (x0,y0,z0) com z0=F(x0,y0), o plano tangente é
z - z0 = Fx(x0,y0),(x - x0) + Fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de F. Defina u = x/y. Então
F(x,y)=y,f(u) com u=xy
Pelo princípio da cadeia,
Fx(x,y) = y,f'(u),partial upartial x = y,f'(u),1y = f'!l(tfracxyr),
Fy(x,y) = f(u) + y,f'(u),partial upartial y = f(u) + y,f'(u),l(-xy^2r) = f!l(tfracxyr) - xy,f'!l(tfracxyr)

Passo 3

Agora verificamos a identidade de Euler para funções homogêneas de grau 1 (o que é F, pois F(tx,ty)=tF(x,y)). Explicitamente, no ponto (x0,y0)
x0,Fx(x0,y0) + y0,Fy(x0,y0) = x0,f'!l(tfracx0y0r) + y0l(f!l(tfracx0y0r) - x0y0,f'!l(tfracx0y0r)r)
Agrupando termos,
= y0,f!l(tfracx0y0r) + l(x0 - y0tfracx0y0r),f'!l(tfracx0y0r) = y0,f!l(tfracx0y0r) = F(x0,y0)=z0

Passo 4

O plano tangente em (x0,y0,z0) é
z - z0 = Fx(x0,y0),(x - x0) + Fy(x0,y0),(y - y0)
Para ver se a origem (0,0,0) está nele, substituímos x=0, y=0, z=0:
0 - z0 stackrel?= Fx(x0,y0),(0 - x0) + Fy(x0,y0),(0 - y0) = -l(x0,Fx(x0,y0)+y0,Fy(x0,y0)r)
Mas do passo anterior sabemos que
x0,Fx(x0,y0)+y0,Fy(x0,y0)=z0,
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0 - z0 = -z0,
e a igualdade se confirma.

Resposta

Todos os planos tangentes à superfície z=y,f(x/y) passam pela origem (0,0,0).

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