- Se
é uma função derivável, mostre que os planos tangentes à superfície de equação
passam todos pela origem.
Passo 1
O enunciado define a superfície
onde
é derivável. Para mostrar que todo plano tangente a essa superfície passa pela origem, vamos usar a fórmula do plano tangente a um gráfico de função de duas variáveis. Definimos
de modo que
. No ponto
com
, o plano tangente é
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Defina
. Então
Pelo princípio da cadeia,
Passo 3
Agora verificamos a identidade de Euler para funções homogêneas de grau 1 (o que é
, pois
). Explicitamente, no ponto
Agrupando termos,
Passo 4
O plano tangente em
é
Para ver se a origem
está nele, substituímos
,
,
:
Mas do passo anterior sabemos que
logo
e a igualdade se confirma.
Resposta
Todos os planos tangentes à superfície
passam pela origem
.