Sejam as funções, calcule as derivadas parciais de primeira ordem partial fpartial x e partial fpartial y.
(a) f(x, y)=x^2 y+3 x y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=x^2y+3xy^2
O conteúdo aqui é derivada parcial, que consiste em derivar em relação a uma variável enquanto a outra fica fixa. Para partial f/partial x tratamos y como constante, e para partial f/partial y tratamos x como constante.

Passo 2

Vamos calcular partial fpartial x.
Como y é constante, aplicamos a regra da derivada de produto em cada termo:
  • De ;x^2y; vem 2xcdot y.
  • De ;3xy^2; vem 3cdot y^2.
    Portanto,
partial fpartial x=2xy+3y^2

Passo 3

Agora calculamos partial fpartial y.
Aqui x é constante, então:
  • De ;x^2y; vem x^2.
  • De ;3xy^2; vem 3xcdot 2y =6xy.
    Logo,
partial fpartial y=x^2+6xy

Resposta

partial fpartial x=2xy+3y^2
partial fpartial y=x^2+6xy

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