Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua, justificando sua resposta.
clcsen(x^2-4)+5 & se & x>2 x^2+x-6x-2 & se & x<2 5 & se & x=2

Passo 1

O enunciado pede para identificar onde a função por partes
sinl(x^2-4r)+5,&x>2, x^2+x-6x-2,&x<2, 5,&x=2
é contínua. Isso envolve usar que funções elementares (seno, soma, quociente) são contínuas nos seus domínios, mais o teste de continuidade no ponto de troca ( x=2).

Passo 2

Para x<2, observe que
x^2+x-6x-2 = (x-2)(x+3)x-2 = x+3,
desde que xneq2. Logo em (-infty,2), f(x)=x+3, que é polinomial e, portanto, contínua em todo (-infty,2).
Para x>2, temos f(x)=sin(x^2-4)+5. Como a composição de funções contínuas ( xmapsto x^2-4, depois sin, depois soma com 5) é contínua, concluímos que f é contínua em (2,infty).

Passo 3

Falta verificar x=2. Calculamos os limites laterais:
limxto2^-f(x) = limxto2^-(x+3) = 5,
limxto2^+f(x) = limxto2^+l(sin(x^2-4)+5r) = sin(0)+5 = 5
Como f(2)=5, os limites laterais coincidem com o valor de f em 2, logo f é contínua em x=2.

Passo 4

Juntando tudo, f é contínua em cada parte do domínio e também em x=2. Portanto, é contínua para todo xinR.

Resposta

R

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