Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função é contínua, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para identificar onde a função por partes sinl(x^2-4r)+5,&x>2, x^2+x-6x-2,&x<2, 5,&x=2
é contínua. Isso envolve usar que funções elementares (seno, soma, quociente) são contínuas nos seus domínios, mais o teste de continuidade no ponto de troca (x=2).
Passo 2
Para x<2, observe que
x^2+x-6x-2 = (x-2)(x+3)x-2 = x+3,
desde que xneq2. Logo em (-infty,2), f(x)=x+3, que é polinomial e, portanto, contínua em todo (-infty,2).
Para x>2, temos f(x)=sin(x^2-4)+5. Como a composição de funções contínuas (xmapsto x^2-4, depois sin, depois soma com 5) é contínua, concluímos que f é contínua em (2,infty).
Passo 3
Falta verificar x=2. Calculamos os limites laterais: