Determine e esboce o domínio da função.
f(x, y, z)=ln x+ln y+ln z

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio da função f(x,y,z)=ln x+ln y+ln z e fazer um esboço desse domínio. Aqui vamos aplicar conceitos de funções de três variáveis e domínio de logaritmo natural.

Passo 2

Lembrando a teoria: a função ln t só está definida para t>0, pois o logaritmo natural requer argumentos estritamente positivos para existir.

Passo 3

Como f é a soma de ln x, ln y e ln z, precisamos que cada um dos argumentos seja positivo ao mesmo tempo. Então impomos as condições x>0, y>0 e z>0.

Passo 4

Reunindo essas condições, o domínio de f é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R^3 com coordenadas positivas. Escrevemos:
D=(x,y,z)inR^3mid x>0, y>0, z>0

Passo 5

Para esboçar esse domínio, imagine o sistema de eixos em 3D. O domínio é a região interna ao primeiro octante, ou seja, toda a parte do espaço acima dos planos coordenados xy, xz e yz, sem incluir as faces, estendendo-se ilimitadamente nas direções positivas.

Resposta

D=(x,y,z)inR^3mid x>0, y>0, z>0

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