Esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede pra esboçar o gráfico da superfície definida por
. O conteúdo aqui é estudo de superfícies em
definidas por funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar determinar o domínio, estudar curvas de nível e analisar seções transversais da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. Como temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos de
. Logo, o domínio é a região elíptica
uma elipse aberta no plano
.
Passo 3
Em seguida, estudamos as curvas de nível, ou seja, os lugares geométricos de pontos
tais que
Isso dá
Cada curva de nível é uma elipse no plano
, aninhadas, com tamanho crescente conforme
cresce (desde
, pois o menor valor de
em
é
).
Passo 4
Agora, analisamos as seções em que fixamos uma variável. Por exemplo, em
temos
que em
é um ramo de hipérbole invertida em 2D que vai de
em
até
quando
. De modo semelhante, em
temos
.
Passo 5
Combinando tudo, vemos que a superfície tem o valor mínimo
no ponto
e cresce sem limite conforme nos aproximamos da fronteira elíptica
. Geometricamente, é um “funil” com base elíptica no plano
e paredes que vão verticalmente a
.
Passo 6
Para esboçar: no plano
desenhe a elipse
, depois algumas elipses internas correspondentes a
. Em seguida, imagine essas elipses subindo em
de forma que a elipse interna menor fica mais baixa (
) e as maiores ficam cada vez mais altas, aproximando-se de
ao alcançar a elipse limite.
Resposta
O gráfico é uma superfície de “funil” com base elíptica
, valor mínimo
no centro e que cresce até
ao chegar na fronteira elíptica
, cujas curvas de nível são elipses aninhadas.