Esboce o gráfico da função.
f(x, y)=1raiz16-x^2-4 y^2

Passo 1

O enunciado pede pra esboçar o gráfico da superfície definida por f(x,y)=1raiz16 - x^2 - 4y^2. O conteúdo aqui é estudo de superfícies em R^3 definidas por funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar determinar o domínio, estudar curvas de nível e analisar seções transversais da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. Como temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos de 16 - x^2 - 4y^2 > 0. Logo, o domínio é a região elíptica
x^2 + 4y^2 < 16,
uma elipse aberta no plano (x,y).

Passo 3

Em seguida, estudamos as curvas de nível, ou seja, os lugares geométricos de pontos (x,y) tais que
f(x,y) = k
Isso dá
1raiz16 - x^2 - 4y^2 = k
16 - x^2 - 4y^2 = 1k^2
x^2 + 4y^2 = 16 - 1k^2
Cada curva de nível é uma elipse no plano xy, aninhadas, com tamanho crescente conforme k cresce (desde k>tfrac14, pois o menor valor de f em (0,0) é f(0,0)=tfrac14).

Passo 4

Agora, analisamos as seções em que fixamos uma variável. Por exemplo, em y=0 temos
z = f(x,0)=1raiz16 - x^2,
que em xin(-4,4) é um ramo de hipérbole invertida em 2D que vai de z=tfrac14 em x=0 até zto+infty quando xtopm4. De modo semelhante, em x=0 temos z=1/raiz16 - 4y^2.

Passo 5

Combinando tudo, vemos que a superfície tem o valor mínimo zmin=tfrac14 no ponto (0,0,tfrac14) e cresce sem limite conforme nos aproximamos da fronteira elíptica x^2+4y^2=16. Geometricamente, é um “funil” com base elíptica no plano xy e paredes que vão verticalmente a +infty.

Passo 6

Para esboçar: no plano xy desenhe a elipse x^2+4y^2=16, depois algumas elipses internas correspondentes a f=0,5,1,2,dots. Em seguida, imagine essas elipses subindo em z de forma que a elipse interna menor fica mais baixa ( zapprox0,25) e as maiores ficam cada vez mais altas, aproximando-se de +infty ao alcançar a elipse limite.

Resposta

O gráfico é uma superfície de “funil” com base elíptica x^2+4y^2<16, valor mínimo z=1/4 no centro e que cresce até +infty ao chegar na fronteira elíptica x^2+4y^2=16, cujas curvas de nível são elipses aninhadas.

Exercícios relacionados