Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua, justificando sua resposta.
cllx^2+x-2(x-1)^2 & se & x neq 1 0 & se & x=1

Passo 1

A função f está definida por
f(x)=x^2+x-2(x-1)^2,&xneq1,0,&x=1
O conteúdo aqui é continuidade de funções racionais (que são contínuas onde o denominador é não nulo) e verificação de continuidade em um ponto isolado. Precisamos usar o fato de que funções racionais são contínuas em seu domínio e depois testar o limite em x=1.

Passo 2

Para x\neq1, f(x)=\frac{x2+x-2}{(x-1)2} é o quociente de polinômios cujo denominador não se anula. Logo, por teoria de funções elementares, f é contínua em todos os pontos x\neq1.

Passo 3

Em x=1, f(1)=0 por definição. Para testar continuidade, calculamos
limxto1f(x)=limxto1x^2+x-2(x-1)^2=limxto1(x-1)(x+2)(x-1)^2=limxto1x+2x-1
Como o limite tende a +∞ ou -∞ (depende do lado de aproximação), não existe limite finito, logo não coincide com f(1)=0 e há descontinuidade em x=1.

Passo 4

Portanto, a única falha de continuidade ocorre em x=1; em todos os demais pontos do domínio f é contínua.

Resposta

O conjunto de continuidade de f é Rsetminus1.

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