Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial de Chebyshev:
(1-t^2) y^prime prime-t y^prime+n^2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial de Chebyshev:
(1-t^2) y^prime prime-t y^prime+n^2 y=0
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e o que é o Wronskiano. Não se preocupe se esses termos parecem complicados agora, vou explicar cada passo de forma simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Ela tem a forma geral:
P(t) y'' + Q(t) y' + R(t) y = 0
No nosso caso, identificamos:
  • $ P(t) = 1 - t^2 $
  • $ Q(t) = -t $
  • $ R(t) = n^2 $

Passo 3

O Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se duas soluções de uma equação diferencial são linearmente independentes. Para uma equação diferencial linear de segunda ordem, o Wronskiano $ W(t) $ das duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ satisfaz a seguinte equação:
W(t)

Passo 4

Vamos substituir $ Q(t) $ e $ P(t) $ na equação do Wronskiano:
Q(t)
Simplificando, temos:
P(t)

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para $ W(t) $. Para resolver, podemos usar um fator integrante. A forma geral da solução é:
W(t)
onde $ C $ é uma constante de integração.

Passo 6

Vamos calcular a integral no expoente:
integral t1 - t^2 dt
Fazendo a substituição $ u = 1 - t^2 $, temos $ du = -2t dt $ ou $ t dt = -\frac{du}{2} $.
Substituindo na integral:
u = 1 - t^2

Passo 7

Voltando à expressão do Wronskiano:
W(t) = C cdot e^ -12 ln|1 - t^2| = C cdot (1 - t^2)^ -12
Isso simplifica para:
W(t) = Craiz1 - t^2

Resposta

A forma do Wronskiano das duas soluções é:
W(t) = Craiz1 - t^2

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