Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial de Chebyshev:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial de Chebyshev:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e o que é o Wronskiano. Não se preocupe se esses termos parecem complicados agora, vou explicar cada passo de forma simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, identificamos:
- $ P(t) = 1 - t^2 $
- $ Q(t) = -t $
- $ R(t) = n^2 $
Passo 3
O Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se duas soluções de uma equação diferencial são linearmente independentes. Para uma equação diferencial linear de segunda ordem, o Wronskiano $ W(t) $ das duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ satisfaz a seguinte equação:
Passo 4
Vamos substituir $ Q(t) $ e $ P(t) $ na equação do Wronskiano:
Simplificando, temos:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para $ W(t) $. Para resolver, podemos usar um fator integrante. A forma geral da solução é:
onde $ C $ é uma constante de integração.
Passo 6
Vamos calcular a integral no expoente:
Fazendo a substituição $ u = 1 - t^2 $, temos $ du = -2t dt $ ou $ t dt = -\frac{du}{2} $.
Substituindo na integral:
Passo 7
Voltando à expressão do Wronskiano:
Isso simplifica para:
Resposta
A forma do Wronskiano das duas soluções é: