Terceira Avaliação
Use o Teorema do Confronto para encontrar
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Use o Teorema do Confronto para encontrar
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Sanduíche. O problema que temos é encontrar o limite quando $ n $ tende ao infinito da expressão:
Para isso, vamos precisar entender como o seno se comporta e como podemos usar desigualdades para “confrontar” a expressão e facilitar o cálculo do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o seno de qualquer número sempre está entre -1 e 1. Ou seja:
Isso é super útil porque podemos usar essas desigualdades para criar limites para a nossa expressão principal.
Passo 3
Agora, vamos manipular essas desigualdades para se adequarem à nossa expressão. Subtraindo $ \sin(n) $ de $ 2n $, temos:
Isso nos dá uma “faixa” dentro da qual a expressão $ 2n - \sin(n) $ está sempre contida.
Passo 4
O próximo passo é dividir tudo por $ n $ para igualar à nossa expressão original:
Simplificando cada parte, obtemos:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite de cada parte quando $ n $ tende ao infinito. Sabemos que:
Portanto, as desigualdades simplificam para:
Ou seja:
Passo 6
Pelo Teorema do Confronto, se um valor está “espremido” entre dois limites que são iguais, então o limite da expressão também deve ser esse valor comum. Assim: