Terceira Avaliação
Use o Teorema do Confronto para encontrar lim n infty 2 n-sen(n)n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Sanduíche. O problema que temos é encontrar o limite quando $ n $ tende ao infinito da expressão:
n
Para isso, vamos precisar entender como o seno se comporta e como podemos usar desigualdades para “confrontar” a expressão e facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o seno de qualquer número sempre está entre -1 e 1. Ou seja:
-1 <= sin(n) <= 1
Isso é super útil porque podemos usar essas desigualdades para criar limites para a nossa expressão principal.

Passo 3

Agora, vamos manipular essas desigualdades para se adequarem à nossa expressão. Subtraindo $ \sin(n) $ de $ 2n $, temos:
sin(n)
Isso nos dá uma “faixa” dentro da qual a expressão $ 2n - \sin(n) $ está sempre contida.

Passo 4

O próximo passo é dividir tudo por $ n $ para igualar à nossa expressão original:
n
Simplificando cada parte, obtemos:
2n - 1n <= 2n - sin(n)n <= 2n + 1n

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de cada parte quando $ n $ tende ao infinito. Sabemos que:
n
Portanto, as desigualdades simplificam para:
limn infty 1n = 0
Ou seja:
2 - 0 <= limn infty 2n - sin(n)n <= 2 + 0

Passo 6

Pelo Teorema do Confronto, se um valor está “espremido” entre dois limites que são iguais, então o limite da expressão também deve ser esse valor comum. Assim:
limn infty 2n - sin(n)n = 2

Resposta

limn infty 2n - sin(n)n = 2

Exercícios relacionados