Usando a definição de derivada, determine f^{\prime}\left(x_{0}\right), em cada item:
f(x)=x \ln (x), x_{0}=a

Passo 1

O enunciado pede que, usando a definição de derivada, eu determine f^{\prime}\left(x_{0}\right) para a função f(x)=x\ln(x) no ponto x_{0}=a.
Informações dadas:
  • f(x)=x\ln(x).
  • O ponto onde queremos a derivada é x_{0}=a.
  • Observação importante: a função \ln(x) está definida apenas para x>0. Portanto é necessário que a>0.
O que precisa ser encontrado:
  • Calcular f^{\prime}(a) usando a definição de derivada (limite do quociente incremental).

Passo 2

Recordando a definição de derivada em um ponto: para uma função f e um ponto a do domínio,
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
desde que esse limite exista. Aqui cada símbolo significa:
  • h é um incremento em x que tende a 0;
  • f(a+h)-f(a) é a variação correspondente em f;
  • dividimos pela variação h para obter a taxa média de variação, e depois fazemos h\to0 para obter a taxa instantânea (derivada).
Vamos aplicar essa definição diretamente à nossa função.

Passo 3

Calcular f(a+h) e montar o quociente incremental:
f(a+h)=(a+h)\ln(a+h).
Então o numerador do quociente incremental é
f(a+h)-f(a)=(a+h)\ln(a+h)-a\ln(a).
Reescrevendo esse numerador para facilitar a manipulação, separo em dois termos:
(a+h)\ln(a+h)-a\ln(a)=a\bigl(\ln(a+h)-\ln(a)\bigr)+h\ln(a+h).
Agora dividindo por h obtemos
\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = a\cdot\frac{\ln(a+h)-\ln(a)}{h}+\ln(a+h).

Passo 4

Vamos tomar o limite quando h\to0 termo a termo. Primeiro, observe o segundo termo:
\lim_{h\to0}\ln(a+h)=\ln(a),
pois \ln é contínua em a (lembre: a>0).
Agora o primeiro termo:
a\cdot\frac{\ln(a+h)-\ln(a)}{h} = a\cdot\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{a+h}{a}\bigr)}{h} = a\cdot\frac{\ln\!\bigl(1+\tfrac{h}{a}\bigr)}{h}.
Faço a substituição t=\dfrac{h}{a}. Quando h\to0 também temos t\to0. Em termos de t,
a\cdot\frac{\ln\!\bigl(1+\tfrac{h}{a}\bigr)}{h} = a\cdot\frac{\ln(1+t)}{a t} = \frac{\ln(1+t)}{t}.
É um limite clássico que vale
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Intuição rápida desse limite: para t muito pequeno, \ln(1+t) se comporta aproximadamente como t (a reta tangente em t=0), então a razão tende a 1. (Formalmente pode-se obter por série de Taylor \ln(1+t)=t+o(t) ou por outras demonstrações elementares.)
Portanto o primeiro termo tende a 1 quando h\to0.

Passo 5

Somando os limites dos dois termos (já que ambos existem), obtemos
f'(a)=1+\ln(a).
Lembrete: isso vale para a>0, que é a condição para \ln(a) estar definido.

Resposta

f'(a)=1+\ln(a)

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