Usando a definição de derivada, determine
, em cada item:
Passo 1
O enunciado pede que, usando a definição de derivada, eu determine
para a função
no ponto
.
Informações dadas:
-
. - O ponto onde queremos a derivada é
. - Observação importante: a função
está definida apenas para . Portanto é necessário que .
O que precisa ser encontrado:
- Calcular
usando a definição de derivada (limite do quociente incremental).
Passo 2
Recordando a definição de derivada em um ponto: para uma função
e um ponto
do domínio,
desde que esse limite exista. Aqui cada símbolo significa:
-
é um incremento em que tende a ; -
é a variação correspondente em ; - dividimos pela variação
para obter a taxa média de variação, e depois fazemos para obter a taxa instantânea (derivada).
Vamos aplicar essa definição diretamente à nossa função.
Passo 3
Calcular
e montar o quociente incremental:
Então o numerador do quociente incremental é
Reescrevendo esse numerador para facilitar a manipulação, separo em dois termos:
Agora dividindo por
obtemos
Passo 4
Vamos tomar o limite quando
termo a termo. Primeiro, observe o segundo termo:
pois
é contínua em
(lembre:
).
Agora o primeiro termo:
Faço a substituição
. Quando
também temos
. Em termos de
,
É um limite clássico que vale
Intuição rápida desse limite: para
muito pequeno,
se comporta aproximadamente como
(a reta tangente em
), então a razão tende a
. (Formalmente pode-se obter por série de Taylor
ou por outras demonstrações elementares.)
Portanto o primeiro termo tende a
quando
.
Passo 5
Somando os limites dos dois termos (já que ambos existem), obtemos
Lembrete: isso vale para
, que é a condição para
estar definido.