Usando a definição de derivada, determine
, em cada item:
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto onde queremos a derivada:
- Função:
. - Ponto:
.
O que é pedido: calcular
, ou seja,
, usando a definição de derivada.
Passo 2
Recordando a definição de derivada no ponto
: a derivada de
em
é o limite
Aqui a ideia é formar o quociente incremental
e calcular o limite quando
se aproxima de
. Se esse limite existir e for finito, é a derivada.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
na função:
Ou seja, o valor da função no ponto é
.
Passo 4
Escrever o quociente incremental para
:
Para
podemos simplificar
no numerador e denominador, obtendo
Passo 5
Aplicar o limite na expressão simplificada:
Agora precisamos avaliar
. Uma justificativa elementar é notar que a função seno é contínua em
, logo o limite vale o valor da função em
:
Se preferir uma justificativa mais básica, usa-se a desigualdade
, que implica
quando
, logo
.
Passo 6
Portanto o limite que define a derivada é
, e concluímos que
.
Observação rápida (verificação alternativa): se já conhecer a regra do produto,
dá
; avaliando em
resulta
, coincidindo com o resultado obtido pela definição.