Usando a definição de derivada, determine f^{\prime}\left(x_{0}\right), em cada item:
f(x)=x \operatorname{sen}(x), \quad x_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a função f e o ponto onde queremos a derivada:
  • Função: f(x)=x\operatorname{sen}(x).
  • Ponto: x_{0}=0.
O que é pedido: calcular f^{\prime}\left(x_{0}\right), ou seja, f^{\prime}(0), usando a definição de derivada.

Passo 2

Recordando a definição de derivada no ponto x_{0}: a derivada de f em x_{0} é o limite
f^{\prime}(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.
Aqui a ideia é formar o quociente incremental \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} e calcular o limite quando x se aproxima de x_{0}. Se esse limite existir e for finito, é a derivada.

Passo 3

Calcular f(x_{0}). Substituindo x_{0}=0 na função:
f(0)=0\cdot\operatorname{sen}(0)=0.
Ou seja, o valor da função no ponto é 0.

Passo 4

Escrever o quociente incremental para x_{0}=0:
\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x\operatorname{sen}(x)-0}{x}=\frac{x\operatorname{sen}(x)}{x}.
Para x\neq0 podemos simplificar x no numerador e denominador, obtendo
\frac{x\operatorname{sen}(x)}{x}=\operatorname{sen}(x).

Passo 5

Aplicar o limite na expressão simplificada:
f^{\prime}(0)=\lim_{x\to0}\operatorname{sen}(x).
Agora precisamos avaliar \lim_{x\to0}\operatorname{sen}(x). Uma justificativa elementar é notar que a função seno é contínua em 0, logo o limite vale o valor da função em 0:
\lim_{x\to0}\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(0)=0.
Se preferir uma justificativa mais básica, usa-se a desigualdade |\operatorname{sen}(x)|\le |x|, que implica |\operatorname{sen}(x)|\to0 quando x\to0, logo \operatorname{sen}(x)\to0.

Passo 6

Portanto o limite que define a derivada é 0, e concluímos que f^{\prime}(0)=0.
Observação rápida (verificação alternativa): se já conhecer a regra do produto, f(x)=x\operatorname{sen}(x) f^{\prime}(x)=\operatorname{sen}(x)+x\cos(x); avaliando em 0 resulta \operatorname{sen}(0)+0\cdot\cos(0)=0, coincidindo com o resultado obtido pela definição.

Resposta

f^{\prime}(0)=0

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