Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua, justificando sua resposta.
cl|x^2-4 x+3|x-3 & se x neq 3 1 & se x=3

Passo 1

Temos a função f definida por
f(x)= dfrac|x^2-4x+3|x-3, & xneq3, 1, & x=3,
Queremos achar o conjunto de pontos onde f é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes, e vamos usar o teorema do quociente de funções contínuas e limites laterais em x=3.

Passo 2

Para x\neq3, a função |x^2-4x+3| e a função x-3 são contínuas, e x-3\neq0. Assim, pelo teorema do quociente, f(x)=|x^2-4x+3|/(x-3) é contínua em todo ponto x\neq3.

Passo 3

Para estudar o comportamento de f em x=3, fatoramos o polinômio dentro do valor absoluto e simplificamos:
|x^2-4x+3|=|(x-1)(x-3)|=|x-1|cdot|x-3|,
portanto, para x\neq3,

Passo 4

Agora calculamos os limites laterais em x=3:
limxto3^-f(x)=|3-1|cdot(-1)=2cdot(-1)=-2,
limxto3^+f(x)=|3-1|cdot1=2
Como os limites não coincidem e f(3)=1, f não é contínua em x=3.

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos x\in(-\infty,3)\cup(3,\infty).

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