Determine o conjunto de pontos em que a função é contínua.
Passo 1
Neste exercício vamos analisar a continuidade da função de duas variáveis definida por
O conteúdo que usamos é continuidade de funções de duas variáveis e limites. Para resolver, vamos usar que quociente de funções contínuas é contínuo quando o denominador não zera e verificar o limite em (0,0) por diferentes trajetórias.
Passo 2
Para quaisquer pontos (x,y)neq(0,0), o denominador 2x^2+y^2 é sempre positivo, então f(x,y) é quociente de polinômios sem divisão por zero. Logo, f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).
Esse valor depende de k, portanto o limite não é único quando (x,y)to(0,0). Concluímos que f não é contínua em (0,0).
Juntando tudo, o único ponto de descontinuidade é a origem.
Resposta
A função é contínua em todo ponto de R^2 exceto em (0,0), ou seja, em R^2setminus(0,0).