Determine o conjunto de pontos em que a função é contínua.
f(x, y)= 2 x^2-y^22 x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Neste exercício vamos analisar a continuidade da função de duas variáveis definida por
f(x,y)= dfrac2x^2-y^22x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo que usamos é continuidade de funções de duas variáveis e limites. Para resolver, vamos usar que quociente de funções contínuas é contínuo quando o denominador não zera e verificar o limite em (0,0) por diferentes trajetórias.

Passo 2

Para quaisquer pontos (x,y)neq(0,0), o denominador 2x^2+y^2 é sempre positivo, então f(x,y) é quociente de polinômios sem divisão por zero. Logo, f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0), precisamos checar se
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
f(x,kx)=\frac{2x2-k2x2}{2x2+k2x2}=\frac{2-k2}{2+k2}.
$$

Passo 4

Esse valor depende de k, portanto o limite não é único quando (x,y)to(0,0). Concluímos que f não é contínua em (0,0).
Juntando tudo, o único ponto de descontinuidade é a origem.

Resposta

A função é contínua em todo ponto de R^2 exceto em (0,0), ou seja, em R^2setminus(0,0).

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