Encontre a forma para uma solução particular para cada função r(x) descrita na tabela 1.
r(x) y^prime prime-2 y^prime+y=r(x) Sol. partic.
7 cos (3 x) y^prime prime-2 y^prime+y=7 cos (3 x) yp(x)=?
2 x e^x sin (x) y^prime prime-2 y^prime+y=2 x e^x sin (x) yp(x)=?
x^2 cos (pi x) y^prime prime-2 y^prime+y=x^2 cos (pi x) yp(x)=?
5 e^-3 x y^prime prime-2 y^prime+y=5 e^-3 x yp(x)=?
3 x e^x y^prime prime-2 y^prime+y=3 x e^x yp(x)=?
x^2 e^x y^prime prime-2 y^prime+y=x^2 e^x yp(x)=?

Passo 1

Estamos lidando com a EDO não homogênea y'' - 2y' + y = r(x) e queremos, para cada termo r(x) da tabela, encontrar uma forma (ansatz) de solução particular yp(x).

Passo 2

A equação característica da parte homogênea é
lambda^2 - 2lambda + 1 = (lambda - 1)^2 = 0,
ou seja, há raiz dupla lambda=1. Pelas técnicas de coeficientes a determinar, quando o termo for da forma e^alpha xP(x) (com ou sem cos(beta x), sin(beta x)), assumimos
yp(x)=x^m e^alpha xl[Q1(x)cos(beta x)+Q2(x)sin(beta x)r],onde
  • deg Qi = deg P.
  • m é a multiplicidade de alphapm ibeta como raiz da característica.

Passo 3

Para cada caso da tabela:
Para r(x)=7cos(3x): aqui alpha=0, beta=3, P(x) constante e 0pm3i não é raiz do característico ( m=0). Logo
yp(x)=Acos(3x)+Bsin(3x)

Passo 4

Para r(x)=2x e^xsin(x): temos alpha=1, beta=1, P(x)=2x de grau 1 e 1pm i não é raiz de multiplicidade ( m=0). Então
yp(x)=e^xl[(Ax+B)cos x+(Cx+D)sin xr]

Passo 5

Para r(x)=x^2cos(pi x): aqui alpha=0, beta=pi, P(x)=x^2 (grau 2) e 0pm ipi não é raiz ( m=0). Assim
yp(x)=(Ax^2+Bx+C)cos(pi x)+(Dx^2+Ex+F)sin(pi x)

Passo 6

Para r(x)=5e^-3x: alpha=-3, P(x) constante e -3 não é raiz do característico ( m=0). Logo
yp(x)=Ae^-3x

Passo 7

Para r(x)=3x e^x: alpha=1, P(x)=3x grau 1, mas 1 é raiz dupla da característica ( m=2). Portanto
yp(x)=x^2(Ax+B)e^x

Passo 8

Para r(x)=x^2 e^x: alpha=1, P(x)=x^2 grau 2 e raiz dupla Rightarrow m=2. Assim
yp(x)=x^2(Ax^2+Bx+C)e^x

Resposta

Para cada forçante r(x), as formas de solução particular são:
  1. r(x)=7cos(3x):
yp(x)=Acos(3x)+Bsin(3x)
  1. r(x)=2x e^xsin(x):
yp(x)=e^xl[(Ax+B)cos x+(Cx+D)sin xr]
  1. r(x)=x^2cos(pi x):
yp(x)=(Ax^2+Bx+C)cos(pi x)+(Dx^2+Ex+F)sin(pi x)
  1. r(x)=5e^-3x:
yp(x)=Ae^-3x
  1. r(x)=3x e^x:
yp(x)=x^2l(Ax+Br)e^x
  1. r(x)=x^2 e^x:
yp(x)=x^2l(Ax^2+Bx+Cr)e^x

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