Calcule a integral de linha escalar
integralC(8 x+x y z) d s
onde C=C1 cup C2, onde C1 é o arco de parábola y=x^2 no plano z=0 unindo os pontos (0,0,0) e (1,1,0), e C2 é o segmento de reta que une os pontos (1,1,0) e (3,1,-raiz5).

Passo 1

Vamos calcular uma integral de linha escalar, o que cai na matéria de integrais de linha em campos escalares. A ideia é parametricar cada curva, usar a definição integralC f(x,y,z),ds = integrala^b f( r(t)),| r'(t)|,dt, e somar as partes em que C se divide.

Passo 2

Para C1, escolhemos a parametrização
r1(t) = (x,y,z) = (t, t^2, 0), tin[0,1]
A função é f(x,y,z)=8x + xyz, e aqui z=0, então fl(r1(t)r)=8t. Calculamos
r1'(t) = (1,2t,0),
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|r1'(t)| = raiz1+(2t)^2 = raiz1+4t^2
Assim
I1=integralC1 f,ds = integral0^1 8t,raiz1+4t^2,dt

Passo 3

Para resolver I1, usamos a substituição u=1+4t^2, de modo que du=8t,dt. Então
I1=integralu=1^u=5 raizu,du = 23u^3/2|1^5 = 23l(5^3/2-1r) = 23l(5raiz5 -1r)

Passo 4

Agora para C2, temos o segmento de reta de (1,1,0) a (3,1,-raiz5). Uma boa parametrização é
r2(t) = (1+2t,;1,;-raiz5,t), tin[0,1]
Então
r2'(t) = (2,0,-raiz5),
|r2'(t)| = raiz2^2 +(-raiz5)^2 = raiz4+5 = 3
f(r2(t)) = 8(1+2t) + (1+2t)cdot1cdot(-raiz5,t)=8+16t - raiz5,t -2raiz5,t^2

Passo 5

O integral em C2 fica
I2 = integralC2 f,ds = integral0^1 l(8+16t -raiz5,t -2raiz5,t^2r),3,dt = 3integral0^1l(8+16tr)dt -3integral0^1l(raiz5,t+2raiz5,t^2r)dt
Calculando separadamente,
3integral0^1(8+16t)dt =3l[8t+8t^2r]0^1 =3cdot16 =48,
3integral0^1(raiz5,t+2raiz5,t^2)dt =3l(raiz52+2raiz53r)=7raiz52
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I2 =48 - 7raiz52

Passo 6

Somando as duas partes,
I = I1 + I2 = 23(5raiz5 -1) + 48 - 7raiz52
Para simplificar, observamos
23(5raiz5 -1)=10raiz53-23,
e juntando com 48=1443 e -7raiz52= -21raiz56, obtemos
I = 1423 - raiz56

Passo 7

A resposta final é a expressão simplificada acima.

Resposta

1423 - raiz56

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