Determine o conjunto dos pontos no qual a função é contínua. Justifique.
f(x, y)=ln (1+x-y).

Passo 1

A função dada é f(x,y)=ln(1+x-y). O conteúdo aqui envolve domínio de funções compostas e continuidade de ln. Vamos precisar determinar onde o argumento do ln é positivo e lembrar que composição de funções contínuas é contínua no domínio.

Passo 2

Para que ln(1+x-y) esteja definido, é necessário que o argumento seja estritamente positivo, ou seja,
1 + x - y > 0
Da desigualdade acima obtemos
y < x + 1
Portanto o domínio de f (e o conjunto onde ela pode ser contínua) é o semiplano aberto dado por
D = (x,y)inR^2 : y < x + 1

Passo 3

A função g(x,y)=1+x-y é linear, logo contínua em R^2, e ln é contínua em (0,infty). Como f=lncirc g, a composição é contínua em todo ponto de D.

Resposta

O conjunto de continuidade de f é (x,y)inR^2 : y < x + 1.

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