Encontre o valor inicial e o valor final da seguinte função:
F(s)=2 s+12s^2+2 s+5

Passo 1

Ok, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função no domínio de (Laplace). A questão quer que a gente encontre o valor inicial e o valor final dessa função. Para isso, vamos usar os teoremas do valor inicial e valor final, que nos ajudam a relacionar a função no domínio de com o comportamento dela no tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor inicial. O teorema do valor inicial nos diz que:
f(0^+) = lims to infty s cdot F(s)
Isso significa que, para encontrar o valor inicial da função no tempo, multiplicamos por e então fazemos tender ao infinito.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula:
lims to infty s cdot 2s + 12s^2 + 2s + 5
Primeiro, multiplicamos s cdot F(s) = 2s^2 + 12ss^2 + 2s + 5 com :

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão dividindo cada termo no numerador e no denominador por 2 + 12s1 + 2s + 5s^2 :
Quando tende ao infinito, os termos , e vão para zero.

Passo 5

Portanto, a expressão simplifica para:
2 + 01 + 0 + 0 = 2
Então, o valor inicial é 2.

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor final. O teorema do valor final nos diz que:
f(infty) = lims to 0 s cdot F(s)
Isso significa que, para encontrar o valor final da função no tempo, multiplicamos por e então fazemos tender a zero.

Passo 7

Vamos aplicar a fórmula:
lims to 0 s cdot 2s + 12s^2 + 2s + 5
Primeiro, multiplicamos s cdot F(s) = 2s^2 + 12ss^2 + 2s + 5 com :

Passo 8

Agora, vamos substituir 2(0)^2 + 12(0)(0)^2 + 2(0) + 5 = 0 + 00 + 0 + 5 = 05 = 0 na expressão:
Então, o valor final é 0.

Resposta

  • Valor Inicial:
  • Valor Final:

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