Encontre o valor inicial e o valor final da seguinte função:
Passo 1
Ok, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
no domínio de
(Laplace). A questão quer que a gente encontre o valor inicial e o valor final dessa função. Para isso, vamos usar os teoremas do valor inicial e valor final, que nos ajudam a relacionar a função no domínio de
com o comportamento dela no tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor inicial. O teorema do valor inicial nos diz que:
Isso significa que, para encontrar o valor inicial da função no tempo, multiplicamos
por
e então fazemos
tender ao infinito.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula:
Primeiro, multiplicamos
com
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão dividindo cada termo no numerador e no denominador por
:
Quando
tende ao infinito, os termos
,
e
vão para zero.
Passo 5
Portanto, a expressão simplifica para:
Então, o valor inicial
é 2.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor final. O teorema do valor final nos diz que:
Isso significa que, para encontrar o valor final da função no tempo, multiplicamos
por
e então fazemos
tender a zero.
Passo 7
Vamos aplicar a fórmula:
Primeiro, multiplicamos
com
:
Passo 8
Agora, vamos substituir
na expressão:
Então, o valor final
é 0.
Resposta
- Valor Inicial:
- Valor Final: