Encontre o valor inicial e o valor final da seguinte função:
F(s)=s+3s(s+1)(s+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor inicial e o valor final da função dada:
F(s)=s+3s(s+1)(s+2)
Isso está relacionado ao teorema do valor inicial e ao teorema do valor final, que fazem parte do estudo de transformadas de Laplace. Vamos precisar entender como aplicar esses teoremas para encontrar os valores solicitados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema do valor inicial. Ele nos diz que, se f(t) é uma função com transformada de Laplace F(s), então o valor inicial de f(t), ou seja, f(0^+), pode ser encontrado usando:
f(0^+) = lims to infty [s cdot F(s)]
Então, para encontrar o valor inicial de F(s), vamos multiplicar F(s) por s e depois calcular o limite quando s tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular o valor inicial:
f(0^+) = lims to infty [s cdot F(s)] = lims to infty [ s cdot s+3s(s+1)(s+2) ]
Simplificando a expressão:
= lims to infty s+3(s+1)(s+2)
Dividindo numerador e denominador por s:
= lims to infty 1 + 3s(1 + 1s)(1 + 2s) = 1 + 0(1 + 0)(1 + 0) = 1
Então, o valor inicial é 1.

Passo 4

Agora, vamos para o teorema do valor final. Esse teorema nos diz que, se todos os pólos de s cdot F(s) estão no lado esquerdo do plano complexo, então o valor final de f(t), ou seja, limt to infty f(t), pode ser encontrado usando:
f(infty) = lims to 0 [s cdot F(s)]
Vamos aplicar isso na função dada.

Passo 5

Calculando o valor final:
f(infty) = lims to 0 [s cdot F(s)] = lims to 0 [ s cdot s+3s(s+1)(s+2) ]
Simplificando a expressão:
= lims to 0 s+3(s+1)(s+2)
Substituindo s = 0:
= 0+3(0+1)(0+2) = 32
Portanto, o valor final é 32.

Resposta

  • Valor inicial: 1
  • Valor final: 32

Exercícios relacionados