Encontre o valor inicial e o valor final da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor inicial e o valor final da função dada:
Isso está relacionado ao teorema do valor inicial e ao teorema do valor final, que fazem parte do estudo de transformadas de Laplace. Vamos precisar entender como aplicar esses teoremas para encontrar os valores solicitados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema do valor inicial. Ele nos diz que, se
é uma função com transformada de Laplace
, então o valor inicial de
, ou seja,
, pode ser encontrado usando:
Então, para encontrar o valor inicial de
, vamos multiplicar
por
e depois calcular o limite quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular o valor inicial:
Simplificando a expressão:
Dividindo numerador e denominador por
:
Então, o valor inicial é 1.
Passo 4
Agora, vamos para o teorema do valor final. Esse teorema nos diz que, se todos os pólos de
estão no lado esquerdo do plano complexo, então o valor final de
, ou seja,
, pode ser encontrado usando:
Vamos aplicar isso na função dada.
Passo 5
Calculando o valor final:
Simplificando a expressão:
Substituindo
:
Portanto, o valor final é
.
Resposta
- Valor inicial:
- Valor final: