Determine o conjunto dos pontos no qual a função é contínua. Justifique.
f(x, y)=1+x^2+y^21-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir em quais pontos a função $ f(x, y) = \frac{1 + x^{2} + y^{2}}{1 - x^{2} - y^{2}} $ é contínua. Vamos trabalhar com funções de duas variáveis e análise de continuidade. Para resolver isso, precisamos entender onde a função está bem definida e onde ela pode ter problemas, como divisões por zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função fracionária é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero. No nosso caso, o denominador da função é 1 - x^2 - y^2. Se esse denominador for zero, aí a função não vai estar definida, e portanto, não será contínua nesse ponto.

Passo 3

Vamos encontrar onde o denominador é igual a zero:
1 - x^2 - y^2 = 0
Rearranjando a equação:
x^2 + y^2 = 1
Essa equação representa um círculo unitário no plano xy, ou seja, todos os pontos cuja distância da origem é 1.

Passo 4

Então, a função $ f(x, y) $ não está definida em pontos que estão exatamente sobre esse círculo unitário, porque aí o denominador dá zero e não podemos dividir por zero. Em todos os outros pontos do plano $ \mathbb{R}^2 $, a função está bem definida e, portanto, contínua.

Resposta

A função $ f(x, y) = \frac{1 + x^{2} + y^{2}}{1 - x^{2} - y^{2}} $ é contínua em todos os pontos do plano f(x, y) = 1 + x^2 + y^21 - x^2 - y^2 exceto aqueles que satisfazem $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Ou seja, o conjunto dos pontos onde a função é contínua é:
R^2

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