Determine o conjunto dos pontos no qual a função é contínua. Justifique.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir em quais pontos a função $ f(x, y) = \frac{1 + x^{2} + y^{2}}{1 - x^{2} - y^{2}} $ é contínua. Vamos trabalhar com funções de duas variáveis e análise de continuidade. Para resolver isso, precisamos entender onde a função está bem definida e onde ela pode ter problemas, como divisões por zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função fracionária é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero. No nosso caso, o denominador da função é
. Se esse denominador for zero, aí a função não vai estar definida, e portanto, não será contínua nesse ponto.
Passo 3
Vamos encontrar onde o denominador é igual a zero:
Rearranjando a equação:
Essa equação representa um círculo unitário no plano
, ou seja, todos os pontos cuja distância da origem é 1.
Passo 4
Então, a função $ f(x, y) $ não está definida em pontos que estão exatamente sobre esse círculo unitário, porque aí o denominador dá zero e não podemos dividir por zero. Em todos os outros pontos do plano $ \mathbb{R}^2 $, a função está bem definida e, portanto, contínua.
Resposta
A função $ f(x, y) = \frac{1 + x^{2} + y^{2}}{1 - x^{2} - y^{2}} $ é contínua em todos os pontos do plano
exceto aqueles que satisfazem $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Ou seja, o conjunto dos pontos onde a função é contínua é: