Esboce o seguinte conjunto e o classifique em aberto e/ou fechado e/ou nenhum dos dois:
D=(x, y) in R^2 / x^2-y <= 1

Passo 1

O conjunto é dado por D=(x,y)in R^2mid x^2-y<=1. O conteúdo envolvido é teoria de topologia em R^2: classificação de conjuntos como abertos e fechados e esboço de regiões definidas por inequações.

Passo 2

Reescrevendo a inequação para isolar y, a gente tem
x^2 - y <= 1
que equivale a
y >= x^2 - 1
Então a fronteira de D é a parábola y = x^2 - 1, e o interior fica na região acima dela.

Passo 3

Para esboçar, desenhe a parábola com vértice em (0,-1) e concavidade voltada para cima. Como y deve ser maior ou igual a x^2 -1, sombreie toda a região acima da curva, incluindo a própria parábola.

Passo 4

Para classificar, note que a função f(x,y)=x^2-y é contínua em R^2. O conjunto D é a pré-imagem de ( -infty,1], que é conjunto fechado em R. Logo, D é fechado. Além disso, D contém sua fronteira, então não é aberto.

Resposta

O esboço é a região acima (e sobre) a parábola y=x^2-1. O conjunto é fechado e não é aberto.

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