Determine o conjunto dos pontos no qual a função é contínua. Justifique.
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Passo 1
Então, a gente tem uma função $ f(x, y, z) = \arcsin \left(x^{2} + y^{2} + z^{2}\right) $ e o exercício quer saber em quais pontos essa função é contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e o domínio da função arco seno (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “quebras” ali. Para funções de várias variáveis, como a nossa, a continuidade depende da continuidade em cada uma das suas variáveis.
Passo 3
Agora, vamos olhar a função $ \arcsin(u) $. A função arco seno está definida apenas para valores de $ u $ entre -1 e 1, ou seja, $ u \in [-1, 1] $. Fora desse intervalo, a função não existe no conjunto dos números reais.
Passo 4
No nosso caso, o $ u $ dentro do arco seno é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $. Como quadrados de números reais são sempre não negativos, $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $ está sempre entre 0 e algum número positivo. Então, para $ \arcsin(x^{2} + y^{2} + z^{2}) $ estar bem definido, precisamos que:
Passo 5
Essa inequação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $ representa todos os pontos dentro ou na superfície de uma esfera de raio 1 centrándose na origem (0,0,0) no espaço tridimensional.
Passo 6
Então, a função $ f(x, y, z) = \arcsin(x^{2} + y^{2} + z^{2}) $ é contínua em todos os pontos onde $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $, pois nesse intervalo o arco seno está definido e, como a soma de funções contínuas (quadrados e soma) é contínua, o resultado mantém a continuidade.
Resposta
A função $ f(x, y, z) = \arcsin(x^{2} + y^{2} + z^{2}) $ é contínua para todos os pontos
tais que $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $. Ou seja, o conjunto dos pontos onde a função é contínua é a esfera de raio 1 centrada na origem, incluindo a própria superfície.