Use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
é a semicircunferência definida por
Passo 1
A questão pede para calcular
onde
é o contorno que consiste na reta
de
a
e a semicircunferência superior
. O conteúdo principal aqui é o Teorema dos Resíduos de Cauchy, e vamos precisar: 1) encontrar as singularidades de
; 2) determinar quais delas estão dentro de
; 3) calcular os resíduos nessas singularidades; 4) aplicar
.
Passo 2
As singularidades de
são as raízes de
. Escrevendo
, temos
Passo 3
Os argumentos dessas raízes são
. As que caem na semicircunferência superior (argumento entre 0 e
) são
. Todas têm
, então estão dentro de
.
Passo 4
Em cada pólo simples
, o resíduo de
é dado por
Passo 5
Logo, a soma dos resíduos é
Passo 6
Calculando cada termo:
Passo 7
Somando
Passo 8
Então
Passo 9
Pelo Teorema dos Resíduos,