Use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC 1z^6+1 d z, C é a semicircunferência definida por y=0, y=raiz4-x^2

Passo 1

A questão pede para calcular ointC1z^6+1,dz onde C é o contorno que consiste na reta y=0 de x=-2 a x=2 e a semicircunferência superior y=raiz4-x^2. O conteúdo principal aqui é o Teorema dos Resíduos de Cauchy, e vamos precisar: 1) encontrar as singularidades de 1/(z^6+1); 2) determinar quais delas estão dentro de C; 3) calcular os resíduos nessas singularidades; 4) aplicar ointC f(z),dz=2pi isumRes.

Passo 2

As singularidades de f(z)=1/(z^6+1) são as raízes de z^6=-1. Escrevendo -1=e^i(pi+2pi k), temos
zk=e^i(pi+2pi k)/6, k=0,1,dots,5

Passo 3

Os argumentos dessas raízes são thetak=(pi+2pi k)/6. As que caem na semicircunferência superior (argumento entre 0 e pi) são
z1=e^ipi/6,;z2=e^ipi/2,;z3=e^i5pi/6. Todas têm |zk|=1<2, então estão dentro de C.

Passo 4

Em cada pólo simples zk, o resíduo de f é dado por
Resl(f,zkr)=limzto zk(z-zk)1z^6+1=16zk^5,pois derivada de z^6+1 em zk é 6zk^5.

Passo 5

Logo, a soma dos resíduos é
sumk=1^3Res(f,zk)=16l(z1^-5+z2^-5+z3^-5r)

Passo 6

Calculando cada termo:
z1^-5=e^-5ipi/6, z2^-5=e^-5ipi/2=-i, z3^-5=e^-25ipi/6=e^-ipi/6

Passo 7

Somando
e^-5ipi/6+(-i)+e^-ipi/6=(e^-5ipi/6+e^-ipi/6)-i=-i-i=-2i

Passo 8

Então
sumk=1^3Res(f,zk)=-2i6=-i3

Passo 9

Pelo Teorema dos Resíduos,
ointC1z^6+1,dz=2pi il(-i3r)=2pi3

Resposta

2pi3

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