Use o teorema de resíduos de Cauchy, onde for apropriado, para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC z^3 e^-1 / z^2 d z
i) |z|=5
ii) |z+i|=2
iii) |z-3|=1

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de contorno ointC z^3 e^-1/z^2,dz ao redor de diferentes curvas C, usando o teorema de resíduos de Cauchy. Vamos precisar identificar as singularidades da função, obter sua expansão em série de Laurent em torno de z=0 e aplicar o teorema para cada contorno.

Passo 2

A única singularidade de f(z)=z^3 e^-1/z^2 é em z=0, que é essencial. Pelo teorema de resíduos, a integral em um contorno fechado orientado positivamente que engloba z=0 vale 2pi i vezes o resíduo de f em 0.

Passo 3

Expandimos e^-1/z^2 em série de Laurent:
e^-1/z^2=sumn=0^infty(-1)^nn!z^-2n
Multiplicando por z^3 temos
z^3 e^-1/z^2=sumn=0^infty(-1)^nn!z^3-2n
O resíduo é o coeficiente de z^-1, ou seja, quando 3-2n=-1 n=2. Então
Res(f,0)=(-1)^22!=12

Passo 4

Agora determinamos se z=0 está dentro de cada curva:
i) Para |z|=5, o círculo de raio 5 em torno de zero engloba 0.
ii) Para |z+i|=2, o centro é -i a uma distância 1 de 0, com raio 2, então 0 fica dentro.
iii) Para |z-3|=1, o centro é 3 (distância 3 de 0), com raio 1, logo 0 fica fora.

Passo 5

Aplicando o teorema: se 0 está dentro,
ointCf(z),dz=2pi icdot12=pi i;
se estiver fora, a integral vale zero. Portanto chegamos aos valores pedidos.

Resposta

i) pi i; ii) pi i; iii) 0

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