Use o teorema de resíduos de Cauchy, onde for apropriado, para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
i)
ii)
iii)
i)
ii)
iii)
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral de contorno
ao redor de diferentes curvas
, usando o teorema de resíduos de Cauchy. Vamos precisar identificar as singularidades da função, obter sua expansão em série de Laurent em torno de
e aplicar o teorema para cada contorno.
Passo 2
A única singularidade de
é em
, que é essencial. Pelo teorema de resíduos, a integral em um contorno fechado orientado positivamente que engloba
vale
vezes o resíduo de
em
.
Passo 3
Expandimos
em série de Laurent:
Multiplicando por
O resíduo é o coeficiente de
, ou seja, quando
⇒
. Então
Passo 4
Agora determinamos se
está dentro de cada curva:
i) Para , o círculo de raio 5 em torno de zero engloba
.
ii) Para , o centro é
a uma distância 1 de
, com raio 2, então
fica dentro.
iii) Para , o centro é
(distância 3 de
), com raio 1, logo
fica fora.
i) Para
ii) Para
iii) Para
Passo 5
Aplicando o teorema: se
está dentro,
se estiver fora, a integral vale zero. Portanto chegamos aos valores pedidos.
Resposta
i)
; ii)
; iii) 0