Determine o conjunto dos pontos no qual a função é contínua. Justifique.
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos achar onde a função de duas variáveis
é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de várias variáveis e vamos usar o fato de que soma, produto, exponencial e quociente (quando o denominador não é zero) são operações que preservam continuidade.
Passo 2
Observação das partes da função: A parte de cima
é soma de exponenciais, logo contínua em
. A parte de baixo
também é contínua em
, pois o produto
e a exponencial são contínuos e a subtração por 1 mantém continuidade.
Passo 3
Condição de existência do quociente: Pelo teorema do quociente,
será contínua em todos os pontos onde o denominador não se anule, ou seja, onde
.
Passo 4
Resolução da condição
: Temos
se, e somente se,
. Como
é real, a única solução de
em
é
. Logo a nulidade ocorre exatamente quando
.
Passo 5
Conclusão da continuidade: Portanto, a função
é contínua em todos os pontos
tais que
, ou seja, em
exceto as retas
ou
.
Resposta
O conjunto de continuidade é
, isto é, todo o plano excluindo as retas
e
.