Determine o conjunto dos pontos no qual a função é contínua. Justifique.
f(x, y)=e^x+e^ye^x y-1.

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos achar onde a função de duas variáveis f(x,y)=e^x+e^ye^xy-1 é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de várias variáveis e vamos usar o fato de que soma, produto, exponencial e quociente (quando o denominador não é zero) são operações que preservam continuidade.

Passo 2

Observação das partes da função: A parte de cima e^x+e^y é soma de exponenciais, logo contínua em R^2. A parte de baixo e^xy-1 também é contínua em R^2, pois o produto xy e a exponencial são contínuos e a subtração por 1 mantém continuidade.

Passo 3

Condição de existência do quociente: Pelo teorema do quociente, f será contínua em todos os pontos onde o denominador não se anule, ou seja, onde e^xy-1neq0.

Passo 4

Resolução da condição e^xy-1neq0: Temos e^xy-1=0 se, e somente se, e^xy=1. Como xy é real, a única solução de e^u=1 em uinR é u=0. Logo a nulidade ocorre exatamente quando xy=0.

Passo 5

Conclusão da continuidade: Portanto, a função f(x,y) é contínua em todos os pontos (x,y) tais que xyneq0, ou seja, em R^2 exceto as retas x=0 ou y=0.

Resposta

O conjunto de continuidade é (x,y)inR^2:xyneq0, isto é, todo o plano excluindo as retas x=0 e y=0.

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