Utilizando os pares da transformada de Laplace da Tabela 2.1 e os teoremas da transformada de Laplace da Tabela 2.2, deduza as transformadas de Laplace para a seguinte função do tempo:
e^-a t sen omega t u(t)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar alguns pares básicos de Transformadas de Laplace e os teoremas que nos ajudam a manipular essas funções. A Transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas, transformando funções do tempo para o domínio .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Transformada de Laplace básica da função seno. Sabemos que:
Aqui, Lsen(omega t)(s) = omegas^2 + omega^2 representa a Transformada de Laplace, é a função que estamos transformando, e é a variável no domínio da Transformada de Laplace.

Passo 3

Agora, vamos considerar o fator exponencial Le^-a t f(t)(s) = F(s + a) que está multiplicando a função seno. Existe um teorema na Transformada de Laplace que nos ajuda a lidar com esse tipo de multiplicação. O teorema diz:
Onde é a Transformada de Laplace da função . Ou seja, multiplicar a função no tempo por equivale a substituir por na Transformada de Laplace da função original.

Passo 4

Vamos aplicar esse teorema à nossa função . Sabemos que:
Aplicando o teorema, substituímos F(s) = Lsen(omega t)(s) = omegas^2 + omega^2 por Le^-a t sen(omega t)(s) = F(s + a) = omega(s + a)^2 + omega^2 :

Resposta

Portanto, a Transformada de Laplace da função é:

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