Utilizando os pares da transformada de Laplace da Tabela 2.1 e os teoremas da transformada de Laplace da Tabela 2.2, deduza as transformadas de Laplace para a seguinte função do tempo:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar alguns pares básicos de Transformadas de Laplace e os teoremas que nos ajudam a manipular essas funções. A Transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas, transformando funções do tempo
para o domínio
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Transformada de Laplace básica da função seno. Sabemos que:
Aqui,
representa a Transformada de Laplace, é a função que estamos transformando, e
é a variável no domínio da Transformada de Laplace.
Passo 3
Agora, vamos considerar o fator exponencial
que está multiplicando a função seno. Existe um teorema na Transformada de Laplace que nos ajuda a lidar com esse tipo de multiplicação. O teorema diz:
Onde
é a Transformada de Laplace da função
. Ou seja, multiplicar a função no tempo por
equivale a substituir
por
na Transformada de Laplace da função original.
Passo 4
Vamos aplicar esse teorema à nossa função . Sabemos que:
Aplicando o teorema, substituímos
por
:
Resposta
Portanto, a Transformada de Laplace da função é: