Prove que A triang<= A=varnothing, para todo A.

Passo 1

A questão pede para mostrar que a diferença simétrica de um conjunto consigo mesmo é vazia, isto é, provar que Atriang<= A=varnothing. O conteúdo envolve a definição de diferença de conjuntos e de diferença simétrica, e vamos usar que
Atriang<= B=(Asetminus B)cup(Bsetminus A)

Passo 2

Primeiro lembramos a definição de diferença de conjuntos: Asetminus A=x:xin A e xnotin A. Sejam xin Asetminus A. Então por definição temos simultaneamente xin A e xnotin A, o que é impossível. Logo não existe tal x, e portanto
Asetminus A=varnothing

Passo 3

Agora aplicamos a definição de diferença simétrica tomando B=A. Temos
Atriang<= A=(Asetminus A)cup(Asetminus A)

Passo 4

Como mostramos que Asetminus A=varnothing, substituindo obtemos
Atriang<= A=varnothingcupvarnothing=varnothing

Passo 5

Para concluir rigorosamente que dois conjuntos são iguais, poderíamos verificar inclusões mútuas, mas aqui a igualdade segue imediatamente da operação de união com o conjunto vazio. Portanto, concluímos que Atriang<= A=varnothing para todo conjunto A.

Resposta

Como Asetminus A=varnothing, temos
Atriang<= A=(Asetminus A)cup(Asetminus A)=varnothingcupvarnothing=varnothing

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