Prove que
, para todo
.
Passo 1
A questão pede para mostrar que a diferença simétrica de um conjunto consigo mesmo é vazia, isto é, provar que
. O conteúdo envolve a definição de diferença de conjuntos e de diferença simétrica, e vamos usar que
Passo 2
Primeiro lembramos a definição de diferença de conjuntos:
. Sejam
. Então por definição temos simultaneamente
e
, o que é impossível. Logo não existe tal
, e portanto
Passo 3
Agora aplicamos a definição de diferença simétrica tomando
. Temos
Passo 4
Como mostramos que
, substituindo obtemos
Passo 5
Para concluir rigorosamente que dois conjuntos são iguais, poderíamos verificar inclusões mútuas, mas aqui a igualdade segue imediatamente da operação de união com o conjunto vazio. Portanto, concluímos que
para todo conjunto
.
Resposta
Como
, temos