Determine o conjunto dos pontos em que a função é contínua e justifique sua resposta.
f(x, y)=ln x-yx^2-y^2

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x,y)=lnx-yx^2-y^2
e pede o conjunto de pontos em que f é contínua. Como f é composta de uma função logaritmo e de razão de polinômios, vamos primeiro determinar o domínio onde o logaritmo está definido (argumento positivo) e o denominador não se anula.

Passo 2

A condição para f existir é
x-yx^2-y^2>0
e ao mesmo tempo
x^2-y^2neq0

Passo 3

Fatorando o denominador temos
x^2-y^2=(x-y)(x+y)
Logo, para xneq y,
x-yx^2-y^2 =x-y(x-y)(x+y) =1x+y
Assim o argumento do logaritmo fica tfrac1x+y.

Passo 4

A condição tfrac1x+y>0 é equivalente a
x+y>0
Devemos também manter xneq y para o cancelamento ser válido e evitar numerador nulo sobre denominador nulo.

Passo 5

No domínio determinado temos
f(x,y)=lnl(1x+yr) =-ln(x+y),
que é claramente contínua em qualquer ponto onde x+y>0.

Resposta

A função f é contínua em
(x,y)in R^2 mid x+y>0,;xneq y

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