Obtenha as primeiras derivadas parciais de cada função:
z(x, y)=x^2 sen^2 y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
z(x,y)=x^2sin^2y
Este é um problema de derivadas parciais: para partial zpartial x tratamos y como constante, e para partial zpartial y tratamos x como constante. Vamos aplicar a regra da derivada de potência e a regra da cadeia onde for preciso.

Passo 2

Cálculo de partial zpartial x:
Aqui sin^2y é constante em relação a x. Derivando x^2 em relação a x obtemos 2x. Logo,
partial zpartial x = partialpartial xl(x^2r),sin^2y = 2x,sin^2y

Passo 3

Cálculo de partial zpartial y:
Agora x^2 é constante em relação a y. Precisamos derivar sin^2y em relação a y. Usamos a regra da cadeia: se u(y)=sin y, então sin^2y=(u(y))^2 e
ddyl(u^2r)=2,u,dudy Longrightarrow ddyl(sin^2yr) =2,sin ycdotcos y
Multiplicando por x^2 constante, fica
partial zpartial y = x^2,ddyl(sin^2yr) = x^2,2,sin ycos y =2x^2sin ycos y

Resposta

partial zpartial x=2x,sin^2y, partial zpartial y=2x^2sin ycos y

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