Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é descontínua.
f(x)=\lfloor x\rfloor em que \lfloor x\rfloor=\max \{n \in \mathbb{Z} \mid n \leq x\} \quad (Função maior inteiro.)

Passo 1

O enunciado pede para achar onde a função \displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor
é descontínua. Aqui a matéria é continuidade de funções reais e vamos usar que uma função constante é contínua e que descontinuidade por salto ocorre quando os limites laterais não coincidem com o valor da função.

Passo 2

Considere um ponto x_0 que não seja inteiro, isto é, x_0\in(n,n+1) para algum n\in\mathbb{Z}. Nesse intervalo temos
\lfloor x\rfloor = n,
que é uma função constante em (n,n+1). Como funções constantes são contínuas em todo ponto do domínio interior, concluímos que não há descontinuidade em x_0.

Passo 3

Agora verifiquemos x_0=k com k\in\mathbb{Z}.
  • Limite pela esquerda:
\lim_{x\to k^-}\lfloor x\rfloor = k-1.
  • Limite pela direita:
\lim_{x\to k^+}\lfloor x\rfloor = k.
  • Valor da função em k:
f(k)=\lfloor k\rfloor = k.
Como \lim_{x\to k^-}f(x)=k-1\neq f(k), há salto e, portanto, descontinuidade em cada inteiro k.

Passo 4

Juntando, a única descontinuidade ocorre em todos os pontos k\in\mathbb{Z}.

Resposta

O conjunto de descontinuidade de f é
\{\,x\in\mathbb{R}\mid f\text{ é descontínua em }x\} =\mathbb{Z}.éí

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