Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
f(x, y)= x y^3x^2 y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos em que a função
f(x,y)= x y^3x^2y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
é diferenciável. O conteúdo é diferenciabilidade em R^2, o que exige verificar onde existe um mapeamento linear que aproxime f(x+h,y+k)-f(x,y) até ordem infinitesimal.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) o denominador x^2y^2 exige xneq0 e yneq0. Nesse caso
f(x,y)=x y^3x^2y^2=yx
Assim o domínio de definição efetivo é
D=(x,y)inR^2:xneq0,;yneq0cup(0,0)

Passo 3

Em qualquer ponto (x0,y0) com x0neq0 e y0neq0,
f(x,y)=yx
é quociente de funções polinomiais com divisor não nulo. Logo é diferenciável em todo (x,y):xneq0,;yneq0 por ser combinação de funções diferenciáveis.

Passo 4

Resta verificar se f é diferenciável em (0,0). Primeiro, continuidade em (0,0): ao aproximar de direções diferentes vemos
se y=x então f(x,x)=1 e se y=2x então f(x,2x)=2. Os limites não coincidem, logo
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe e f não é contínua em (0,0). Como diferenciabilidade implica continuidade, f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função é diferenciável exatamente em
(x,y)inR^2:xneq0,;yneq0

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