Verifique se o conjunto de funções A=y1=1, y2=x, y3=x^3 são soluções da equação
x d y^3d x^3-d y^2d x^2=0
Verifique também que tal conjunto é um conjunto fundamental de soluções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto de funções A = y1 = 1, y2 = x, y3 = x^3 são soluções da equação diferencial
x d^3 ydx^3 - d^2 ydx^2 = 0
Além disso, precisamos confirmar que esse conjunto forma um conjunto fundamental de soluções. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e entender um pouco sobre como verificar se as funções são soluções e se são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se cada função do conjunto A satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, precisamos calcular as derivadas segunda e terceira de cada função.

Passo 3

Vamos começar com y1 = 1 :
  • Primeira derivada: y1' = 0
  • Segunda derivada: y1'' = 0
  • Terceira derivada: y1''' = 0
Agora, substituindo na equação diferencial:
x cdot 0 - 0 = 0
Isso confirma que y1 = 1 é uma solução da equação.

Passo 4

Agora, vamos para y2 = x :
  • Primeira derivada: y2' = 1
  • Segunda derivada: y2'' = 0
  • Terceira derivada: y2''' = 0
Substituindo na equação diferencial:
x cdot 0 - 0 = 0
Portanto, y2 = x também é uma solução da equação.

Passo 5

Por último, vamos verificar y3 = x^3 :
  • Primeira derivada: y3' = 3x^2
  • Segunda derivada: y3'' = 6x
  • Terceira derivada: y3''' = 6
Substituindo na equação diferencial:
x cdot 6 - 6x = 6x - 6x = 0
Assim, y3 = x^3 também satisfaz a equação diferencial.

Passo 6

Agora que vimos que todas as funções y1, y2, y3 são soluções da equação, precisamos verificar se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, vamos verificar se elas são linearmente independentes, utilizando o determinante de Wronskiano.

Passo 7

O Wronskiano é definido como:
W(y1, y2, y3) = y1 & y2 & y3 y1' & y2' & y3' y1'' & y2'' & y3''
Vamos calcular cada derivada:
y1 &= 1 & y1' &= 0 & y1'' &= 0 y2 &= x & y2' &= 1 & y2'' &= 0 y3 &= x^3 & y3' &= 3x^2 & y3'' &= 6x
Substituindo na matriz do Wronskiano:
W = 1 & x & x^3 0 & 1 & 3x^2 0 & 0 & 6x
Calculando o determinante:
W = 1 cdot (1 cdot 6x - 3x^2 cdot 0) - x cdot (0 cdot 6x - 3x^2 cdot 0) + x^3 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 0) = 6x

Passo 8

O Wronskiano W = 6x não é zero para x neq 0 . Isso indica que as funções y1, y2, y3 são linearmente independentes no intervalo considerado, formando assim um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial.

Resposta

O conjunto de funções A = y1 = 1, y2 = x, y3 = x^3 são soluções da equação diferencial x d^3 ydx^3 - d^2 ydx^2 = 0 e formam um conjunto fundamental de soluções.

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