Encontre uma solução particular do problema
, para cada uma das escolhas abaixo para
:
a)
.
a)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma solução particular da equação diferencial
quando
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
Queremos apenas uma solução particular
(não precisamos da solução geral aqui, só de uma função que satisfaça a equação não-homogênea).
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e por que usar): vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Esse método funciona bem quando a parte direita
é uma combinação de funções simples (polinômios, exponenciais, senos e cossenos). A ideia é “chutar” uma forma para
com constantes desconhecidas e determinar essas constantes impondo que a equação seja satisfeita.
Um ponto importante (ressonância): as soluções da equação homogênea associada
são
e
. Como
é uma solução da homogênea, o chute padrão
falha (ele pertence ao espaço homogêneo). Nesses casos multiplicamos o chute por
para obter um candidato independente da solução homogênea. Portanto vamos tentar uma solução particular da forma multiplicada por
.
Passo 3
Proposta do chute (tentativa) com incógnitas:
onde
e
são constantes a determinar. Aqui
e
são os coeficientes indeterminados do método.
Passo 4
Cálculo de
usando regra do produto. Vou usar a regra geral: se
e
, então
Calcule
:
Logo
Agrupando termos:
Passo 5
Cálculo de
derivando termo a termo. Derivando cada parcela:
- Derivada de
é . - Derivada de
: usar regra do produto . Derivada é . - Derivada de
é . - Derivada de
: regra do produto dá .
Somando tudo:
Passo 6
Agora formamos
. Substituindo
e
:
Observe que os termos com
se cancelam:
Portanto sobra
Queremos que isso seja igual a
, ou seja
Igualando coeficientes de
e
(identidade para todas as
):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Passo 7
Com
e
obtemos a solução particular:
Podemos verificar rapidamente: calcular
com essa
devolve
(como mostrado pelo sistema de equações que resolveu
e
), então está correta.