Encontre uma solução particular do problema y^{\prime \prime}+y=g(x), para cada uma das escolhas abaixo para g(x) :
a) g(x)=\operatorname{sen}(x).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução particular da equação diferencial
y''+y=g(x)
quando g(x)=\sin(x).
Informações relevantes dadas:
\text{Equação: } y''+y=\sin(x).çã
Queremos apenas uma solução particular y_{p}(x) (não precisamos da solução geral aqui, só de uma função que satisfaça a equação não-homogênea).

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e por que usar): vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Esse método funciona bem quando a parte direita g(x) é uma combinação de funções simples (polinômios, exponenciais, senos e cossenos). A ideia é “chutar” uma forma para y_{p} com constantes desconhecidas e determinar essas constantes impondo que a equação seja satisfeita.
Um ponto importante (ressonância): as soluções da equação homogênea associada
y''+y=0
são \cos(x) e \sin(x). Como g(x)=\sin(x) é uma solução da homogênea, o chute padrão A\cos x+B\sin x falha (ele pertence ao espaço homogêneo). Nesses casos multiplicamos o chute por x para obter um candidato independente da solução homogênea. Portanto vamos tentar uma solução particular da forma multiplicada por x.

Passo 3

Proposta do chute (tentativa) com incógnitas:
y_{p}(x)=x\big(C\cos x + D\sin x\big),
onde C e D são constantes a determinar. Aqui C e D são os coeficientes indeterminados do método.

Passo 4

Cálculo de y_{p}'(x) usando regra do produto. Vou usar a regra geral: se u(x)=x e v(x)=C\cos x + D\sin x, então
y_{p}' = u'v + uv' = 1\cdot v + x\cdot v'.
Calcule v':
v'(x) = C(-\sin x) + D(\cos x) = -C\sin x + D\cos x.
Logo
y_{p}'(x) = C\cos x + D\sin x + x\big(-C\sin x + D\cos x\big).
Agrupando termos:
y_{p}'(x) = C\cos x - Cx\sin x + D\sin x + Dx\cos x.

Passo 5

Cálculo de y_{p}''(x) derivando termo a termo. Derivando cada parcela:
  • Derivada de C\cos x é -C\sin x.
  • Derivada de -C x\sin x: usar regra do produto x\cdot(-C\sin x). Derivada é -C\sin x - Cx\cos x.
  • Derivada de D\sin x é D\cos x.
  • Derivada de D x\cos x: regra do produto dá D\cos x - D x\sin x.
Somando tudo:
\begin{aligned} y_{p}''(x) &= (-C\sin x) + (-C\sin x - Cx\cos x) + (D\cos x) + (D\cos x - D x\sin x)\\\ &= 2D\cos x - 2C\sin x - Cx\cos x - D x\sin x. \end{aligned}

Passo 6

Agora formamos y_{p}''+y_{p}. Substituindo y_{p}'' e y_{p}:
y_{p}''+y_{p} = \big(2D\cos x - 2C\sin x - Cx\cos x - D x\sin x\big) + \big(Cx\cos x + D x\sin x\big).
Observe que os termos com x se cancelam:
-Cx\cos x - D x\sin x + Cx\cos x + D x\sin x = 0.
Portanto sobra
y_{p}''+y_{p} = 2D\cos x - 2C\sin x.
Queremos que isso seja igual a g(x)=\sin x, ou seja
2D\cos x - 2C\sin x = \sin x.
Igualando coeficientes de \cos x e \sin x (identidade para todas as x):
  • Coeficiente de \cos x: 2D = 0 \Rightarrow D=0.
  • Coeficiente de \sin x: -2C = 1 \Rightarrow C = -\dfrac{1}{2}.

Passo 7

Com C=-\dfrac{1}{2} e D=0 obtemos a solução particular:
y_{p}(x)=x\left(-\dfrac{1}{2}\cos x + 0\cdot\sin x\right) = -\dfrac{1}{2}\,x\cos x.
Podemos verificar rapidamente: calcular y_{p}''+y_{p} com essa y_{p} devolve \sin x (como mostrado pelo sistema de equações que resolveu C e D), então está correta.

Resposta

y_{p}(x)=-\frac{1}{2}\,x\cos x

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