Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial conforme seja o caso:
(d) y^{\prime \prime} y^{\prime}-x=0, y(1)=2, y^{\prime}(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais
y''\,y' - x = 0,
com
y(1)=2,\qquad y'(1)=1.
Informações relevantes dadas: a equação relaciona y'', y' e x; temos duas condições num ponto x=1 que permitem determinar constantes de integração.

Passo 2

Observação útil (identidade de derivada): a derivada em relação a x do quadrado da derivada y' é
\frac{d}{dx}\big((y')^2\big)=2y'y''.
Isso é consequência da regra da cadeia: se u(x)=y'(x) então \frac{d}{dx}(u^2)=2u\,u'. Portanto podemos reescrever o termo y''y' como
y''y'=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\big((y')^2\big).

Passo 3

Usando a identidade acima, a equação y''y'-x=0 fica
\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\big((y')^2\big)-x=0.
Rearranjando,
\frac{d}{dx}\big((y')^2\big)=2x.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big((y')^2\big)\,dx=\int 2x\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente (y')^2 e a do lado direito é x^2 mais uma constante. Logo
(y')^2 = x^2 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Da igualdade (y')^2 = x^2 + C obtemos
y'=\pm\sqrt{x^2+C}.
Agora usamos a condição inicial y'(1)=1. Substituindo x=1:
1=\pm\sqrt{1+C}.
Ao quadrar ambos os lados (ou observar que a raiz é não negativa) obtemos
1=1+C \quad\Rightarrow\quad C=0.
Além disso, como y'(1)=1>0, escolhemos o sinal positivo na vizinhança de x=1. Com C=0 temos \sqrt{x^2+0}=\sqrt{x^2}=|x|. Como estamos interessados numa solução que passa por x=1, em torno de x=1 vale |x|=x. Portanto, na vizinhança de x=1,
y' = x.

Passo 5

Integramos y'=x para obter y. A integral é
y=\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=2. Substituindo x=1 em y=\dfrac{x^2}{2}+C_2:
2=\frac{1^2}{2}+C_2=\frac{1}{2}+C_2.
Isolando C_2:
C_2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Portanto a solução (na vizinhança de x=1) é
y=\frac{x^2}{2}+\frac{3}{2}.
Verificação rápida: y'=x e y''=1 satisfazem y''y'-x=1\cdot x-x=0 e as condições iniciais.

Resposta

y(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{3}{2}

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