Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial conforme seja o caso:
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais
com
Informações relevantes dadas: a equação relaciona
,
e
; temos duas condições num ponto
que permitem determinar constantes de integração.
Passo 2
Observação útil (identidade de derivada): a derivada em relação a
do quadrado da derivada
é
Isso é consequência da regra da cadeia: se
então
. Portanto podemos reescrever o termo
como
Passo 3
Usando a identidade acima, a equação
fica
Rearranjando,
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
e a do lado direito é
mais uma constante. Logo
onde
é constante de integração.
Passo 4
Da igualdade
obtemos
Agora usamos a condição inicial
. Substituindo
:
Ao quadrar ambos os lados (ou observar que a raiz é não negativa) obtemos
Além disso, como
, escolhemos o sinal positivo na vizinhança de
. Com
temos
. Como estamos interessados numa solução que passa por
, em torno de
vale
. Portanto, na vizinhança de
,
Passo 5
Integramos
para obter
. A integral é
onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Usamos a condição inicial
. Substituindo
em
:
Isolando
:
Portanto a solução (na vizinhança de
) é
Verificação rápida:
e
satisfazem
e as condições iniciais.