Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
f(x, y)=lly^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= y^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede o conjunto onde f é diferenciável. Vamos usar que uma razão de funções suaves com denominador não nulo é suave, e depois testar o caso (0,0) pela definição de diferenciabilidade.

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0) então x^2+y^2>0. Logo (x,y)mapsto y^3 e (x,y)mapsto x^2+y^2 são C^infty e o denominador nunca se anula. Assim
f(x,y)=y^3x^2+y^2
é C^infty em todo R^2setminus(0,0) e portanto diferenciável em cada ponto fora da origem.

Passo 3

Em (0,0) vamos calcular as derivadas parciais. Para partial f/partial x:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0
Para partial f/partial y:
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto0k^3k^2-0k =limkto0kk=1
O candidato ao diferencial em (0,0) é então L(h,k)=0cdot h+1cdot k=k.

Passo 4

Para testar diferenciabilidade em (0,0) examinamos o resto
R(h,k)=f(h,k)-L(h,k) =k^3h^2+k^2-k =k^3 - k(h^2+k^2)h^2+k^2 =-k,h^2h^2+k^2
Calculamos
R(h,k)raizh^2+k^2 =|k|,h^2(h^2+k^2)^3/2
Ao tomar a reta k=h, temos
R(h,h)raiz2h^2 =|h|,h^2(2h^2)^3/2 =|h|^32^3/2|h|^3 =12^3/2neq0
Como esse quociente não tende a zero quando (h,k)to(0,0) pela reta k=h, f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função f é diferenciável em todos os pontos (x,y) tais que (x,y)neq(0,0), e não é diferenciável em (0,0).

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