Assuma que f é diferenciável em uma bola aberta B(a) com centro no ponto a \in \mathbb{R}^{n}.
Se \nabla f(x)=0 para todo x \in B(a), mostre que f é constante em B(a).

Passo 1

O enunciado diz que f\colon B(a)\to\mathbb{R} é diferenciável numa bola aberta B(a)\subset\mathbb{R}^n e que \nabla f(x)=0 para todo x\in B(a). Queremos mostrar que f é constante em B(a). Para isso vamos usar a regra da cadeia e o fato de que um segmento de reta entre dois pontos de B(a) fica inteiramente em B(a).

Passo 2

Sejam x,y\in B(a). Como B(a) é convexo, o segmento
\{\,x+t(y-x)\mid 0\le t\le1\}
está contido em B(a). Definimos a função unidimensional
g(t)=f\bigl(x+t(y-x)\bigr),\quad t\in[0,1].
Por composição de funções diferenciáveis, g é diferenciável em [0,1].

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia a g(t), temos
g'(t) =\nabla f\bigl(x+t(y-x)\bigr)\cdot(y-x).
Mas por hipótese \nabla f(\cdot)=0 em toda a bola. Logo
g'(t)=0\quad\text{para todo }t\in[0,1].

Passo 4

Se g'(t)=0 em [0,1], então g é constante nesse intervalo. Logo
f(y)-f(x)=g(1)-g(0)=0.
Isso mostra que f(y)=f(x) para quaisquer x,y\in B(a).

Resposta

f é constante em B(a).

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