Assuma que
é diferenciável em uma bola aberta
com centro no ponto
.
Se
para todo
, mostre que
é constante em
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que
é diferenciável numa bola aberta
e que
para todo
. Queremos mostrar que
é constante em
. Para isso vamos usar a regra da cadeia e o fato de que um segmento de reta entre dois pontos de
fica inteiramente em
.
Passo 2
Sejam
. Como
é convexo, o segmento
está contido em
. Definimos a função unidimensional
Por composição de funções diferenciáveis,
é diferenciável em
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia a
, temos
Mas por hipótese
em toda a bola. Logo
Passo 4
Se
em
, então
é constante nesse intervalo. Logo
Isso mostra que
para quaisquer
.