Determine o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{r}\frac{\sin x y}{x y}, \text { se } \quad(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, \text { se } \quad(x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\sin(xy)}{xy},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[1ex] 1,&\text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
Queremos achar onde f é contínua. Vamos separar em dois casos: pontos com xy\neq0 (o “fora do eixo”) e o ponto (0,0).]

Passo 2

Para (x,y) tais que xy\neq0, a função
(x,y)\mapsto xy
é contínua e nunca atinge zero, e a função unidimensional
t\mapsto \frac{\sin t}{t}
é contínua para todo t\neq0. Composição de funções contínuas em domínios válidos dá função contínua. Portanto f é contínua em todo ponto onde xy\neq0.

Passo 3

Falta verificar continuidade em (0,0). Precisamos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{xy}.
Como (x,y)\to(0,0) implica xy\to0, usamos o famoso limite unidimensional
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
Aqui basta notar que t=xy percorre valores tendendo a zero sem restrição de sinal, logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{xy} =\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t} =1.

Passo 4

Como esse limite vale exatamente o valor de f(0,0), que é 1, temos continuidade de f também em (0,0).

Resposta

O conjunto de continuidade de f é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid xy\neq0\}\;\cup\;\{(0,0)\}.

Exercícios relacionados