Determine o conjunto de pontos de
onde
é diferenciável
.
Passo 1
O enunciado pede os pontos de
em que
é diferenciável.
O conteúdo usado será: diferenciabilidade de composição de funções, existência de parciais e teste pelo limite da definição no ponto crítico .
O conteúdo usado será: diferenciabilidade de composição de funções, existência de parciais e teste pelo limite da definição no ponto crítico
Passo 2
Para
temos
. Como
-
é em , -
é em , -
é em ,
a composição mostra queé (portanto diferenciável) em todo ponto com .
Passo 3
No ponto
avaliamos primeiro as derivadas parciais. Como
a derivada direcional em
é
Analogamente
.
Passo 4
Para checar a diferenciabilidade em
usamos
Note que, definindo
,
logo para
vale
Como
quando
, segue que
mostrando que
é diferenciável em
.
Passo 5
Concluímos que não há outros pontos problemáticos:
é diferenciável em todo
.
Resposta
O conjunto de diferenciabilidade de
é todo
.