Determine o conjunto dos pontos onde

Passo 1

Resumindo, temos a função
f(x)= 1+x, & x< -1, x^2, & -1<= x<1, 2-x, & x>=1
O que precisamos: saber onde f é contínua. Para isso usamos que polinômios são contínuos em toda parte e que em pontos de troca de ramo devemos verificar limites laterais e valor da função.

Passo 2

Em cada intervalo aberto onde f é dada por um polinômio ( 1+x, x^2 ou 2-x), ela é contínua. Logo f é contínua em
(-infty,-1), (-1,1) e (1,infty).

Passo 3

Agora examinamos x=-1. Calculamos os limites laterais:
limxto-1^-f(x)=limxto-1^-(1+x)=1+(-1)=0,
limxto-1^+f(x)=limxto-1^+x^2=(-1)^2=1
Como os limites laterais são diferentes, f tem descontinuidade em x=-1.

Passo 4

Examinamos x=1. Os limites laterais são
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1^2=1,
limxto1^+f(x)=limxto1^+(2-x)=2-1=1,
e o valor da função é
f(1)=2-1=1
Como limites laterais e valor coincidem, f é contínua em x=1.

Resposta

f é contínua em todos os reais, exceto em x=-1. Em notação de conjunto:
(-infty,-1)cup(-1,infty)

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