Questão 2: Considere a equação 3 x^2 y^4+2 y+x^2=4 que define y como uma função derivável de x.
(a) (10 pontos) Calcule y^prime=d yd x, ou seja, a derivada de y em relação a x.
(b) (10 pontos) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função acima no ponto P=(2,0).

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
3x^2y^4 + 2y + x^2 = 4
definindo y como função de x. Precisamos calcular dydx por diferenciação implícita e depois obter a reta tangente ao gráfico no ponto P=(2,0).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
3x^2y^4 + 2y + x^2 = 4
em relação a x, usamos a regra do produto em 3x^2y^4 e a regra da cadeia em y=y(x):
ddxl(3x^2y^4r) =3l(2x,y^4 + x^2cdot4y^3y'r) =6x,y^4 +12x^2y^3y',
ddx(2y)=2y', ddx(x^2)=2x, ddx(4)=0
Somando tudo e igualando a zero resulta
6x,y^4 +12x^2y^3y' +2y' +2x =0

Passo 3

Agora agrupamos os termos com y':
l(12x^2y^3 +2r)y' = -6x,y^4 -2x
Isolando y':
y' = -6x,y^4 -2x12x^2y^3 +2 = -2x(3y^4+1)2(6x^2y^3+1) = -xl(3y^4+1r)6x^2y^3+1

Passo 4

No ponto P=(2,0) temos x=2 e y=0. Substituindo em
y' = -x(3y^4+1)6x^2y^3+1
vem
y'l(2,0r) = -2l(3cdot0^4+1r)6cdot2^2cdot0^3+1 = -2cdot10+1 = -2

Passo 5

A reta tangente em P=(2,0) com coeficiente angular m=-2 é dada por
y - 0 = -2,(x - 2)
ou seja
y = -2x + 4

Resposta

a) y' = -xl(3y^4+1r)6x^2y^3+1
b) A reta tangente no ponto (2,0) é y = -2x + 4.

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